Galilej i inercija: kretanju ne treba pokretač

Istorija mehanike

Deo 5 · Padova i Firenca, 1600–1638.

Kugla koja ne ide ni naniže ni naviše

Galilejevo rasuđivanje polazi od kose ravni iz trećeg dela ovog serijala, i ide ovako.

Pustiš kuglu niz nagnutu dasku — ubrzava. Gurneš je uz istu dasku — usporava, stane, pa se vrati. Što je nagib manji, ubrzanje je manje; što je manji nagib naviše, usporavanje je manje.

A šta radi kugla na dasci koja nije nagnuta ni na jednu stranu?

Ne može ubrzavati, jer nema naniže. Ne može usporavati, jer nema naviše. Ostaje jedini mogući odgovor: kreće se stalnom brzinom, i to zauvek.

Nijedna kugla u stvarnosti to ne radi. Svaka stane. Ali Galilej tvrdi da staje samo zbog trenja i otpora vazduha — dakle zbog nečega što se dodaje pojavi, a ne zbog nje same.

Ogled sa dve strme ravni

Da bi to potkrepio, Galilej je smislio postavku koja je delimično izvodljiva a delimično zamišljena, i to je jedan od najlepših argumenata u fizici.

Postave se dve nagnute ravni, jedna prema drugoj, kao dolina u obliku slova V. Kugla se pusti niz jednu stranu.

1. Kugla se popne uz drugu stranu skoro do iste visine sa koje je puštena. Ne baš do iste — malo joj nedostaje, zbog trenja — ali ako su podloge glatke, vrlo blizu.
2. Ako se druga ravan postavi blaže, kugla se popne do iste visine, samo mora preći duži put.
3. Ako se postavi još blaže, kugla ide još dalje — ali opet do iste visine.
4. A ako se druga ravan spusti do vodoravnog položaja? Kugla nikada ne dostiže onu visinu. Dakle ne staje nikada.

Poslednji korak se ne može izvesti, jer glatke podloge beskonačne dužine nema. Ali prva tri koraka se mogu, i ona pokazuju jasan trend: što je smetnja manja, kugla ide dalje.

Galilej zatim uradi ono što je pravi iskorak — ekstrapolira do granice. Pita se šta bi bilo kad bi smetnje uopšte nije bilo, i odgovor uzme kao zakon.

Kako je pitanje okrenuto

Ovde je suština celog teksta i vredi je izgovoriti sporo.

Aristotel pita: šta održava kretanje? Buridan pita isto, samo odgovara drugačije. Obojica pretpostavljaju da je kretanje stanje koje traži razlog.

Galilej kaže da je pitanje pogrešno. Kretanju nije potreban razlog. Mirovanje i ravnomerno pravolinijsko kretanje su ista vrsta stanja — oba traju sama od sebe.

Razlog je potreban samo za promenu: za ubrzavanje, usporavanje ili skretanje.

ZAPAMTI OVO

Zakon inercije. Telo zadržava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok ga nešto spolja ne primora da to stanje promeni.

Mirovanje nije poseban slučaj. Ono je samo kretanje brzinom nula — a nula nije ništa posebnije od bilo koje druge brzine.

Ova rečenica će kasnije postati Njutnov prvi zakon, o čemu u šestom delu. Ali ju je Galilej izgovorio pola veka ranije.

Gde je Galilej ipak pogrešio

Poštenja radi, njegova inercija nije bila potpuno naša.

Galilej je mislio da telo bez smetnji nastavlja da se kreće po vodoravnoj putanji. A vodoravno na Zemlji znači: po krugu oko središta planete, na stalnoj visini.

Njegova inercija je, dakle, bila kružna. To je bila posledica toga što je razmišljao o kugli koja se kotrlja po zemlji, gde ravno i znači po zakrivljenoj površini.

Danas znamo da je pravo inercijalno kretanje pravolinijsko, i da je za kruženje potrebna sila — o čemu ćemo u trinaestom delu. Ali za sve što je Galilej računao, razlika je bila nemerljiva, jer je zakrivljenost Zemlje na razdaljinama od nekoliko metara zanemarljiva.

Do potpuno prave formulacije došao je Rene Dekart u Principima filozofije iz 1644: telo bez uticaja spolja kreće se pravolinijski, a ne kružno. Njutn je preuzeo Dekartovu verziju.

Brod

Iz inercije Galilej izvodi nešto što mu je bilo mnogo važnije od same mehanike — odgovor na najjači argument protiv Kopernika.

Argument je glasio ovako. Ako se Zemlja okreće, onda tačka na njenoj površini na našoj geografskoj širini juri brzinom od nekoliko stotina metara u sekundi. Baci kamen uvis — dok on leti, Zemlja bi ispod njega odmakla, pa bi kamen pao daleko iza tebe. Ptica koja poleti sa grane ne bi mogla da se vrati. Oblaci bi svi jurili na jednu stranu.

Ništa od toga se ne dešava. Dakle Zemlja miruje.

Galilejev odgovor je u Dijalogu o dva glavna sistema sveta iz 1632, i to je najpoznatiji odlomak koji je napisao. Prepričan:

Zatvori se u potpalublje velikog broda, sa nekoliko mušica, ribicama u posudi vode, i bocom iz koje kap po kap kaplje u sud ispod nje. Dok brod stoji, posmatraj: mušice lete na sve strane, ribice plivaju kako hoće, kapi padaju pravo u sud. Skoči — jednako daleko doskočiš u svakom smeru. Dobaci prijatelju predmet — jednakom snagom u svakom pravcu.

Sad neka brod zaplovi, ravnomerno i bez ljuljanja.

Nećeš primetiti ni najmanju promenu. Mušice ne odlete na krmu. Kapi i dalje padaju pravo. Ne skačeš dalje unazad nego unapred. I ne možeš, ni po jednoj pojavi u sobi, zaključiti da li brod stoji ili plovi.

Razlog je što je kretanje broda zajedničko svemu unutra — tebi, vazduhu, mušicama, kapima. Zajedničko kretanje se ne primećuje, jer se ništa u odnosu na ostalo ne menja.

Prenesi to na Zemlju i argument protiv Kopernika propada. Kamen koji baciš uvis već ima vodoravnu brzinu Zemlje i zadržava je dok leti — pa pada tamo odakle je poletio.

Princip relativnosti

Ono što je Galilej ovim izrekao je opštije od odbrane Kopernika, i danas se zove Galilejev princip relativnosti:

Zakoni mehanike su isti u svim sistemima koji se jedan u odnosu na drugi kreću ravnomerno i pravolinijski.

Iz toga sledi nešto što zvuči neobično: apsolutna brzina ne postoji. Nema smisla pitati koliko se nešto kreće „stvarno" — samo koliko se kreće u odnosu na nešto drugo.

Ti sada, dok čitaš, mirujеš u odnosu na sobu. Krećeš se oko šeststo pedeset metara u sekundi u odnosu na središte Zemlje zbog njene rotacije, ako si na našoj geografskoj širini. Krećeš se oko trideset kilometara u sekundi u odnosu na Sunce. I nijedna od tih brojki nije istinitija od drugih.

Prevođenje između dva takva sistema je prosto i zove se Galilejeva transformacija. Ako se sistem S' kreće brzinom u u odnosu na sistem S, onda za položaj i brzinu istog tela važi:

x' = x − u t

v' = v − u

• x, v — položaj i brzina mereni u prvom sistemu
• x', v' — iste veličine merene u drugom sistemu
• u — brzina drugog sistema u odnosu na prvi

Primer koji svako zna: hodaš kroz voz brzinom 1 m/s, voz ide 30 m/s. Za putnika u vozu ideš 1 m/s, za čoveka na peronu 31 m/s. Brzine se prosto sabiraju.

Ovde vredi zabeležiti nešto za kasnije. Ta transformacija je ono što će se, dva i po veka kasnije, sudariti sa Maksvelovim jednačinama iz serijala o elektrotehnici — jer iz njih sledi da brzina svetlosti mora biti ista za svakog posmatrača, a po Galileju bi morala da se sabira sa brzinom posmatrača. Iz tog sudara nastaje relativnost.

Kosi hitac

Inercija je Galileju omogućila i da reši problem koji je vekovima bio nerešen: kojom putanjom leti bačeno telo?

Srednjovekovni artiljerci su crtali putanju kao pravu liniju naviše, pa kratak luk, pa pravu naniže — jer su mislili da impetus prvo nadjača težinu, pa se istroši, pa težina preuzme.

Galilejeva zamisao je bila da se kretanje razloži na dva nezavisna:

• Vodoravno: ravnomerno, stalnom brzinom, po inerciji. Ništa ga ne menja.
• Uspravno: ravnomerno ubrzano naniže, po zakonu padanja iz trećeg dela.

Ta dva kretanja se ne mešaju. Odvijaju se istovremeno i nezavisno.

Izvedimo putanju:

1. x = v₀ t   — vodoravno pređeni put
2. y = (1/2) g t²   — koliko je telo palo za isto vreme
3. t = x/v₀   — izrazimo vreme iz prve jednačine
4. y = (g/2v₀²) · x²   — uvrstimo u drugu; y je srazmerno kvadratu od x

A kriva kod koje je jedna koordinata srazmerna kvadratu druge je parabola.

Iz istog razloga sledi i zapažanje koje je Galilej posebno isticao: ako se jedno kuglica ispusti a druga u istom trenutku horizontalno izbaci, obe dodirnu pod istovremeno. Uspravno kretanje ne zna ništa o vodoravnom.

Galilej je izračunao i tablice dometa za razne uglove, i pokazao da je najveći domet pri uglu od 45° — što je artiljercima bilo od neposredne koristi, i što je verovatno pomoglo da njegov rad bude shvaćen ozbiljno.

Cena

Vredi reći i šta je Galileja to koštalo, jer se u ovom serijalu pitanje autoriteta stalno vraća.

Dijalog o dva glavna sistema sveta iz 1632. napisan je kao razgovor trojice, i formalno je trebalo da bude nepristrasan. Nije bio. Argumente protiv Kopernika iznosi lik po imenu Simplićio — što je ime jednog stvarnog antičkog komentatora, ali na italijanskom zvuči kao prostodušan.

Papa Urban VIII, koji je Galileju dotle bio naklonjen, u tom liku je prepoznao sebe i sopstvene argumente. Galilej je 1633. izveden pred inkviziciju, primoran da se odrekne kopernikanskog učenja i osuđen na kućni pritvor, u kome je proveo poslednjih devet godina života.

U tom pritvoru je, već slep, napisao Razgovore o dvema novim naukama — knjigu koja sadrži sve o čemu smo pisali u poslednja tri teksta. Rukopis je prokrijumčaren u Holandiju i objavljen 1638.

Ta knjiga, a ne Dijalog, je ono po čemu je Galilej važan za mehaniku.

Šta je ovo promenilo

Prvo: uklonjena je prepreka koja je dve hiljade godina stajala na putu. Dok se verovalo da kretanje traži pokretača, mehanika nije mogla dalje. Kad je to palo, ostatak je bio moguć.

Drugo: složeno kretanje se počelo razlagati na jednostavna. Kosi hitac je zbir dva kretanja koja se ne mešaju. Taj postupak je danas osnovni alat i primenjuje se svuda.

Treće: nastao je pojam koji nadživljava mehaniku — princip relativnosti. Da ne postoji izdvojen sistem u kome se stvari dešavaju „stvarno", nego da su svi ravnopravni.

Ali nešto suštinsko i dalje nedostaje.

Znamo da telo menja kretanje kad na njega nešto deluje. Ne znamo koliko. Ne postoji izraz koji povezuje ono što deluje sa promenom koju izaziva. Galilej je izmerio da telo pri padu ubrzava ravnomerno — ali nije rekao zašto baš toliko, ni od čega to zavisi.

Za to je trebalo definisati dva pojma koja su do tada bila samo reči: sila i masa. I povezati ih jednačinom.

Galilej je umro u januaru 1642. Iste godine, po tada važećem engleskom kalendaru, u Linkolnširu se rodio dečak čiji je otac umro tri meseca pre toga.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.