Galilej i kosa ravan: padanje se konačno meri

Istorija mehanike

Deo 3 · Piza i Padova, 1589–1638.

Student medicine koji je odustao

Galileo Galilej (Galileo Galilei, 1564–1642) rođen je u Pizi, kao sin Vinčenca Galileja — muzičara, sviračа lutnje i teoretičara muzike. To poslednje nije sporedno: otac je izvodio oglede sa zategnutim žicama i tegovima, merio odnose napetosti i tona, i dokazivao da tada prihvaćena pravila o harmoniji nisu tačna. Galilej je odrastao uz čoveka koji je autoritet proveravao merenjem.

Otac ga je poslao u Pizu da studira medicinu, jer se od nje živelo. Galilej je slučajno prisustvovao predavanju iz geometrije, prešao na matematiku, i studije nikada nije završio. Godine 1589. je ipak dobio katedru matematike u Pizi, pa 1592. bolje plaćenu u Padovi, gde je ostao osamnaest godina i uradio najveći deo posla o kome ovde pišemo.

Krivi toranj koga verovatno nije bilo

Priča kaže da je Galilej sa Krivog tornja u Pizi bacio dve kugle različite težine i pokazao da stižu istovremeno.

Priča potiče od Vinčenca Vivijanija, Galilejevog učenika i biografa, koji ju je zapisao šezdesetak godina posle navodnog događaja. Sam Galilej je nigde ne pominje, iako je bio sklon da svoje uspehe navodi. Većina istoričara smatra da se ogled u tom obliku nije desio.

Ali vredi razumeti i zašto takav ogled, i da je izveden, ne bi ništa dokazao.

Toranj je visok oko pedeset šest metara. Kugla pada odatle nešto više od tri sekunde. Bez sata koji meri desetinke — a takvog sata nije bilo — dve kugle koje stignu sa razlikom od desetinke izgledaju kao da su stigle zajedno. A dve kugle koje stignu sa razlikom od pola sekunde izgledaju kao da nisu.

Uz to, otpor vazduha zaista pravi razliku: lakša kugla stvarno malo zaostane. Aristotelovac bi u tome video potvrdu svoje teorije, a ne opovrgavanje.

Galilej je to razumeo. Zato nije bacao, nego je usporavao.

Zamisao: razblažiti gravitaciju

Ključna Galilejeva ideja je ovakva. Kugla koja se kotrlja niz nagnutu ravan radi u suštini isto što i kugla koja pada — samo sporije. Ako je nagib mali, kretanje je toliko sporo da se stigne izmeriti.

Kad se nagib povećava, kretanje je sve brže. Kad ravan postane uspravna, imamo slobodan pad. Dakle: ono što važi na kosoj ravni za svaki nagib mora važiti i u graničnom slučaju.

Vredi zastati nad time koliko je taj korak smeo. Galilej ne tvrdi da je izmerio slobodan pad — on tvrdi da je izmerio nešto srodno i da se zaključak prenosi. To je metod koji danas zovemo izolovanjem pojave, i on je nov.

Aparatura

Galilej ogled opisuje u Razgovorima o dvema novim naukama, objavljenim 1638, u godinama kad je već bio pod kućnim pritvorom.

Postavka:

• Drvena greda dužine oko dvanaest lakata, dakle preko pet metara.
• Duž nje je izdubljen žleb širine oko prsta, obložen glatkim pergamentom da trenje bude što manje.
• Greda se podigne na jednom kraju za jedan do dva lakta, dakle blagi nagib.
• Niz žleb se pušta uglačana bronzana kugla.

A sada glavni problem: kako izmeriti vreme?

Sat od vode

Galilejevo rešenje je bilo ovakvo. Velika posuda sa vodom postavljena je visoko, a na dnu ima tanku cevčicu. Dok kugla putuje, voda se hvata u čašu. Kad kugla stigne, dotok se prekine.

Zatim se uhvaćena voda izmeri na vagi.

Masa vode je srazmerna vremenu. Galilej nije morao da zna koliko sekundi je prošlo — bilo mu je dovoljno da zna da je jedan interval dva puta duži od drugog, a to se sa vage očitava.

Tu je i suština: merio je odnose, ne apsolutne vrednosti. Za zakon mu apsolutna vrednost nije bila potrebna.

Zapisao je da je ogled ponavljao stotinu puta i da se rezultati nisu razlikovali ni za deseti deo otkucaja bila. Istoričari su njegov ogled rekonstruisali savremenim materijalima i pokazalo se da je takva tačnost dostižna — dakle nije preterivao.

Postoji i pretpostavka, koju je izneo istoričar Stiliman Drejk, da je Galilej u nekim ogledima koristio i sluh. Preko žleba su bile razapete tanke žice na kojima kugla proizvodi zvuk pri prelasku. Žice su se pomerale dok razmaci između zvukova ne postanu jednaki — a muzičar, kakav je Galilej odrastao uz oca, ravnomeran ritam prepoznaje mnogo tačnije nego što ume da očita vreme.

Šta je izmerio

Rezultat je bio ovakav. Ako se meri put koji kugla pređe za jedan, dva, tri, četiri jednaka vremenska intervala, dobija se:

• za jedno vreme — jedan deo puta
• za dva vremena — četiri dela
• za tri vremena — devet delova
• za četiri vremena — šesnaest delova

Dakle: put je srazmeran kvadratu vremena.

Isto se može reći i drugačije, i tako je Galilej i voleo da kaže. Ako se posmatraju uzastopni jednaki intervali, putevi pređeni u svakom od njih stoje u odnosu neparnih brojeva:

1 : 3 : 5 : 7 : 9 …

Proveri da se dve tvrdnje slažu: 1, 1+3 = 4, 4+5 = 9, 9+7 = 16. Kvadrati.

To je pravilo neparnih brojeva i ono je bilo mnogo pogodnije za merenje, jer se odnos 1 : 3 : 5 očitava lakše nego kvadratna zavisnost.

Matematika: odakle sledi kvadrat

Galilej je iz merenja izveo zaključak koji je bio pravi cilj: brzina ne raste sa pređenim putem, nego ravnomerno sa vremenom. To je definicija ravnomerno ubrzanog kretanja.

Pokažimo da iz nje sledi kvadrat, koristeći Oremovo pravilo iz prethodnog teksta.

1. v = a t   — brzina raste ravnomerno; kreće od nule, pa je posle vremena t jednaka proizvodu ubrzanja i vremena
2. v_sr = (0 + at)/2 = at/2   — srednja brzina po Mertonovom pravilu
3. s = v_sr · t   — put je srednja brzina puta vreme
4. s = (at/2) · t = (1/2) a t²   — rezultat

s = (1/2) · a · t²

• s — pređeni put [metar, m]
• a — ubrzanje, stalno [metar u sekundi na kvadrat, m/s²]
• t — vreme od početka kretanja [sekunda, s]

Za slobodan pad na Zemlji, ubrzanje se obeležava sa g i iznosi približno 9,81 m/s². Galilej ga nije izmerio tačno — njegova vrednost je bila osetno premala, jer merenje vremena vodom nije dozvoljavalo bolje.

Primer. Kamen pusten sa visine od 20 metara — koliko pada?

1. 20 = 0,5 · 9,81 · t²   — uvrstimo poznato
2. t² = 20 / 4,905 ≈ 4,08   — sredimo
3. t ≈ 2,02 s   — rezultat

ZAPAMTI OVO

U izrazu s = (1/2)at² nema mase.

To je cela poenta. Koliko će telo pasti za dato vreme ne zavisi od toga koliko je teško. Aristotelova tvrdnja pada zajedno sa masom koja je iz obrasca ispala.

Dokaz bez ijednog ogleda

Galilej je imao i argument protiv Aristotela koji ne traži nikakvo merenje, i taj argument je jedan od najlepših u istoriji fizike. U Razgovorima ga izlaže kroz dijalog.

Pretpostavimo da je Aristotel u pravu: teže telo pada brže. Uzmimo teško telo A i lako telo B. Po pretpostavci, A pada brže od B.

Sad ih vežimo zajedno i pustimo. Šta se dešava?

1. Sporije telo B usporava brže telo A, jer ga vuče nazad. Dakle spojeno telo pada sporije nego A samo.
2. Ali spojeno telo je teže od A. Po pretpostavci mora padati brže nego A.
3. Ista pretpostavka daje dva suprotna zaključka. Dakle pretpostavka je pogrešna.

Jedini izlaz je da sva tela padaju istom brzinom — jer tada B ne usporava A, spojeno telo pada isto, i protivrečnosti nema.

Ovo je čist misaoni eksperiment, izveden bez ijednog predmeta u ruci, i oborio je tvrdnju koja je stajala dve hiljade godina.

A pero ipak zaostaje

Galilej je bio potpuno svestan da svakodnevno iskustvo govori suprotno, i o tome je pisao otvoreno.

Objašnjenje je otpor vazduha. Otpor zavisi od oblika i površine tela, a ne od njegove težine — pa je za pero, u odnosu na njegovu malu težinu, ogroman, dok je za olovnu kuglu zanemarljiv.

Zapisao je i posmatranje koje to potkrepljuje: kad se dve kugle različite težine puste sa velike visine, teža stigne malo ranije — ali daleko manje ranije nego što Aristotel tvrdi. Sto puta teža kugla ne stiže sto puta brže, nego jedva primetno brže. A ta mala razlika raste ako se pada kroz vodu umesto kroz vazduh.

Odatle je izveo pravi zaključak: razlika ne dolazi od gravitacije nego od sredine. Ukloni sredinu i razlike nema.

Zaključak je bio tačan, a proveriti ga tada nije bilo moguće — jer za to treba ispumpati vazduh, a vazdušna pumpa je izumljena tek desetak godina po Galilejevoj smrti, i o njoj smo pisali u serijalu o elektrotehnici. Prvi put je ogled izveden u sedamnaestom veku sa perom i novčićem u staklenoj cevi, a najpoznatije izvođenje je ono sa Meseca 1971, kad je astronaut Dejvid Skot pustio čekić i sokolovo pero. Stigli su istovremeno.

Šta je ovo promenilo

Prvo: kretanje je postalo merljivo. Do Galileja se o njemu raspravljalo; posle njega se ono opisuje brojem i obrascem. To je isti prelaz koji smo u elektrotehnici videli kod Kulona — i on je uvek prekretnica.

Drugo: uveden je metod koji danas uzimamo zdravo za gotovo. Pojavu koju ne možeš da meriš zameni srodnom koju možeš; smetnje ukloni ili umanji; ponavljaj merenje; izvedi odnos, ne pojedinačan broj.

Treće: pokazano je da očigledno ume da bude pogrešno. Pero zaista zaostaje za kamenom, i to svako vidi — a zaključak koji se iz toga izvlači je netačan. Fizika od Galileja naovamo stalno radi taj posao: razdvaja pojavu od onoga što je zamagljuje.

Ostalo je, međutim, otvoreno pitanje koje je Galileja mučilo. Merio je vreme masom vode, i to je radilo — ali je bilo nezgrapno i netačno. Za dalje mu je trebao pravi sat.

A takav sat je već imao pred očima, i to od studentskih dana. Priča kaže da je u pizanskoj katedrali posmatrao kako se veliki luster njiše, i merio period sopstvenim pulsom — pa primetio nešto što nije očekivao.

Kad se luster njiše jače, prelazi duži put. Kad se njiše slabije, kraći. A vreme jednog zamaha je, koliko je mogao da proceni, isto.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.