Gravitacija: jabuka i Mesec su ista stvar

Istorija mehanike

Deo 10 · Vulstorp i Kembridž, 1666–1687.

Šta se već znalo o nebu

Da bismo razumeli šta je Njutn uradio, treba prvo videti šta je zatekao.

Tiho Brahe (1546–1601), danski plemić sa metalnim nosom — pravi je izgubio u dvoboju oko matematičkog spora — proveo je dvadeset godina merećи položaje planeta golim okom, sa instrumentima koje je sam gradio. Njegova merenja su bila tačna na oko dva lučna minuta, što je granica ljudskog oka i najbolje što je pre teleskopa ikada postignuto.

Johan Kepler (1571–1630), njegov pomoćnik i naslednik, proveo je godine pokušavajući da ta merenja objasni kružnicama. Nije išlo. Za Mars je ostajalo neslaganje od osam lučnih minuta — što je bilo malo, ali je Kepler znao da Tiho ne greši toliko.

Odbacio je kružnicu, i to je bio ogroman korak: krug je od Aristotela važio za savršenu figuru nebeskog kretanja. Iz Tihovih podataka izveo je tri pravila:

1. Prvi zakon. Planeta se kreće po elipsi, a Sunce je u jednoj od njenih žiža.
2. Drugi zakon. Duž koja spaja planetu sa Suncem prebriše jednake površine za jednaka vremena. Znači da planeta ide brže kad je bliže Suncu.
3. Treći zakon. Kvadrat vremena obilaska srazmeran je kubu velike poluose putanje: T² ~ a³.

Ta tri pravila su tačna i danas se koriste. Ali Kepler nije znao zašto važe. Nagađao je da Sunce nekakvom silom vitla planete unaokolo, i pokušavao da to opiše magnetizmom, oslanjajući se na Gilberta o kome smo pisali u serijalu o elektrotehnici.

Tri pravila bez objašnjenja. To je stanje koje je Njutn zatekao.

Jabuka

Priču o jabuci Njutn je sam ispričao, i to više puta, pred kraj života. Zapisali su je Vilijam Stukli i Ketrin Barton, njegova nećaka.

Po tom kazivanju, sedeo je u vrtu u Vulstorpu za vreme kuge i video jabuku kako pada. Postavio je pitanje: zašto jabuka uvek pada pravo naniže, ka središtu Zemlje?

A onda ono presudno: dokle to privlačenje dopire? Do vrha najviše kule dopire sigurno. Do vrha planine takođe. Zašto bi negde prestalo?

A ako ne prestaje — dopire li do Meseca?

Napomena o priči: nema pomena da mu je jabuka pala na glavu, to je kasniji dodatak. I nije reč o trenutnom otkrovenju — Njutnu je trebalo dvadeset godina da to dovede do kraja. Ali sama pomisao je zabeležena i verovatno je istinita.

Zašto je to pitanje bilo revolucionarno

Vredi stati kod toga koliko je pomisao bila neobična.

Po Aristotelu, o kome smo pisali u prvom delu, nebo i Zemlja su dva odvojena sveta sa različitim zakonima. Zemaljska tela padaju pravo, nebeska kruže večno. Nema nikakve veze između jabuke i Meseca.

Ta podela je stajala dve hiljade godina i niko nije ni pomišljao da je poremeti — čak ni Kopernik, ni Galilej.

Njutnovo pitanje je, dakle, bilo: a šta ako je to jedna te ista pojava?

Mesec koji stalno pada

Prvo je trebalo videti Mesec drugačije nego što se dotad gledalo.

Po zakonu inercije iz petog dela, telo bez sile ide pravolinijski. Mesec ne ide pravolinijski, nego kruži. Dakle na njega deluje sila.

Njutn je to izrazio slikom koja je postala čuvena, a nalazi se u njegovim Principia. Zamisli top na vrhu vrlo visoke planine, koji puca vodoravno.

• Slaba punjenja — đule opiše luk i padne blizu.
• Jače — padne dalje.
• Još jače — padne toliko daleko da se pri padanju već oseti zakrivljenost Zemlje.
• Dovoljno jako — đule pada, ali se Zemlja pod njim zakrivljuje tačno istom brzinom. Đule nikada ne stigne do tla i vrati se u polaznu tačku.

To je orbita. Telo u orbiti stalno pada — samo promašuje Zemlju.

Mesec, dakle, pada ka Zemlji svakog trenutka. Samo se pri tome i pomera u stranu dovoljno brzo da nikada ne stigne.

Provera brojevima

Ovo je Njutnov račun iz 1666, i danas se zove provera Meseca. Radimo ga korak po korak.

Pretpostavka koju proveravamo: privlačenje opada sa kvadratom rastojanja. Mesec je oko 60 puta dalje od središta Zemlje nego što smo mi na površini. Ako je pretpostavka tačna, ubrzanje Meseca mora biti 60² = 3600 puta manje od ubrzanja jabuke.

Predviđanje:

1. a = g/3600 = 9,81/3600 ≈ 2,72 · 10⁻³ m/s²   — koliko bi ubrzanje Meseca trebalo da bude

Merenje: ubrzanje pri kružnom kretanju izračunaćemo obrascem koji ćemo izvesti u trinaestom delu, a koji je Hajgens objavio 1673. Za sada ga uzimamo kao dat: a = 4π²r/T².

1. r ≈ 3,844 · 10⁸ m   — rastojanje do Meseca
2. T = 27,32 dana = 2,36 · 10⁶ s   — vreme obilaska
3. T² ≈ 5,57 · 10¹² s²
4. 4π²r = 39,48 · 3,844 · 10⁸ ≈ 1,518 · 10¹⁰
5. a = 1,518 · 10¹⁰ / 5,57 · 10¹² ≈ 2,72 · 10⁻³ m/s²   — izmereno ubrzanje

ZAPAMTI OVO

Predviđeno: 2,72 · 10⁻³. Izmereno: 2,72 · 10⁻³.

Ista sila koja obara jabuku drži Mesec. Aristotelova podela na dva sveta pada u tom jednom poređenju.

Napomena o istoriji: Njutn je 1666. dobio slaganje koje je sam opisao kao „prilično blisko", ali ne savršeno — jer je koristio netačnu vrednost za poluprečnik Zemlje. Tačniju vrednost je dobio kasnije, iz merenja francuskog astronoma Pikara — istog onog čiju smo svetlost u barometru pominjali u serijalu o elektrotehnici. Tek tada se račun poklopio.

Zakon opšte gravitacije

Njutn je zakon dao u obliku koji važi za bilo koja dva tela u svemiru:

F = G · (m₁m₂/r²)

• F — sila privlačenja [njutn, N]
• m₁, m₂ — mase tela [kilogram, kg]
• r — rastojanje između njihovih središta [metar, m]
• G — gravitaciona konstanta, 6,674 · 10⁻¹¹ [N·m²/kg²]

Uporedi ovo sa Kulonovim zakonom iz serijala o elektrotehnici. Isti oblik — proizvod dve veličine u brojiocu, kvadrat rastojanja u imeniocu. Ta podudarnost je zapanjila fizičare osamnaestog veka i navela ih da elektricitet obrađuju istim aparatom kojim je obrađivana nebeska mehanika.

Ali postoje i dve razlike, i vredi ih zapamtiti. Gravitacija ima samo jedan znak — uvek privlači, nikad ne odbija. I neuporedivo je slabija: setimo se iz teksta o Kulonu da je odnos između dve sile za dva elektrona oko 10⁴².

Zašto Kepler sledi iz ovoga

Izvedimo treći Keplerov zakon, jer je izvođenje kratko i pokazuje šta znači objasniti neko pravilo.

Uzmimo kružnu orbitu, radi jednostavnosti. Gravitaciona sila mora obezbediti kružno kretanje:

1. G Mm/r² = m · 4π²r/T²   — levo sila gravitacije, desno masa puta ubrzanje pri kruženju
2. G M/r² = 4π²r/T²   — masa planete se skrati
3. T² = (4π²/GM) · r³   — sredimo
4. T² ~ r³   — sve u zagradi je konstanta; ostaje Keplerov treći zakon

Kepler je do tog pravila došao posle godina traženja obrazaca u tabelama. Ovde ono ispada iz zakona gravitacije u tri reda.

Isto važi i za druga dva Keplerova zakona, samo je izvođenje teže. Drugi je posledica održanja momenta impulsa, o kome u trinaestom delu. Prvi — da je putanja elipsa — traži ozbiljniju matematiku, i to je upravo ono što je Njutn poslao Haleju.

Primeti šta se dobilo. Tri nezavisna empirijska pravila postala su posledice jednog jedinog zakona. Kad se to desi, obično znači da je zakon tačan.

Merenje Zemlje

Njutn nije znao vrednost konstante G. Nije mu ni trebala — za orbite se skraćuje, a masa Zemlje mu nije bila potrebna.

Prvo merenje izveo je 1798. Henri Kevendiš — isti onaj samotni engleski plemić o kome smo pisali u tekstu o Kulonu. Upotrebio je torzionu vagu: dve olovne kugle okačene o tanku nit, i dve mnogo veće olovne kugle prinete sa strane. Privlačenje između njih uvija nit za ugao koji se očitava.

Sila koju je merio bila je reda milijarditog dela njutna. Aparat je držao u zatvorenoj prostoriji i posmatrao ga teleskopom kroz rupu, da toplota njegovog tela ne bi izazvala strujanje vazduha.

Kad se G zna, može se izračunati masa Zemlje:

1. mg = G Mm/R²   — težina tela na površini je gravitaciona sila
2. M = gR²/G   — masa tela se skrati
3. M = 9,81 · (6,371 · 10⁶)² / 6,674 · 10⁻¹¹
4. M ≈ 5,97 · 10²⁴ kg   — masa Zemlje

Sam Kevendiš je svoj rad naslovio kao merenje gustine Zemlje, i dobio je oko 5,45 puta veću od vode — vrlo blisko današnjoj vrednosti od 5,51.

Uzgred, gustina površinskih stena je oko 2,7. Iz Kevendišovog rezultata odmah sledi da unutrašnjost Zemlje mora biti mnogo gušća od kore — što je prvi nagoveštaj postojanja metalnog jezgra.

Ono što Njutna nije puštalo

Postoji jedno pitanje na koje Njutn nije umeo da odgovori, i o tome je pisao otvoreno i sa nelagodom.

Kako Sunce deluje na Zemlju preko sto pedeset miliona kilometara praznog prostora? Šta prenosi to dejstvo? I zašto trenutno?

U pismu Ričardu Bentliju iz 1693. napisao je da mu je pomisao da jedno telo može delovati na drugo kroz prazninu, bez ičega što bi dejstvo prenelo, toliko apsurdna da nijedan čovek sposoban za filozofsko mišljenje ne može u nju verovati.

U samim Principia je zauzeo drugi stav, izrazom koji je postao čuven — hypotheses non fingo, ne izmišljam hipoteze. Rekao je otprilike: ne znam uzrok gravitacije i neću da nagađam; dovoljno je da zakon opisuje sve što vidimo.

Ta nelagoda je ista ona koju smo pratili kroz ceo serijal o elektrotehnici, od Gerikea do Faradeja. I rešava se na isti način: pojmom polja, i saznanjem da dejstvo nije trenutno nego se prostire konačnom brzinom.

Za elektromagnetizam je to uradio Maksvel. Za gravitaciju Ajnštajn, 1915, i to na način koji Njutnovu silu ukida — u opštoj teoriji relativnosti gravitacija nije sila nego zakrivljenost prostora i vremena. Gravitacioni talasi su prvi put izmereni 2015, i putuju brzinom svetlosti.

Šta je ovo promenilo

Prvo: ukinuta je granica između neba i Zemlje. Jedna fizika važi svuda. To je najveća promena u slici sveta koju je iko ikada izveo jednim zakonom.

Drugo: nebo je postalo izračunljivo. Halej je 1705, koristeći Njutnov zakon, izračunao da su komete viđene 1531, 1607. i 1682. zapravo jedna ista, i predvideo njen povratak za 1758. Nije doživeo — umro je 1742. Kometa se pojavila na Božić 1758, kako je predvideo, i od tada nosi njegovo ime.

Još upečatljivije: 1846. su Adams u Engleskoj i Le Verije u Francuskoj, nezavisno, iz odstupanja u kretanju Urana izračunali gde mora biti nepoznata planeta. Berlinska opservatorija ju je našla prve noći, na svega jedan stepen od predviđenog mesta. Tako je otkriven Neptun — planeta nađena računom pre nego što ju je iko video.

Treće: nastala je slika sveta koju zovemo mehanicističkom. Ako svaka čestica poštuje zakone, i ako se zna gde je i kako se kreće, onda je budućnost načelno izračunljiva. Laplas je to izrekao do kraja: um koji bi znao položaj i brzinu svake čestice video bi svu prošlost i svu budućnost odjednom.

Ta slika je vladala dva veka i danas je napuštena, iz dva razloga — kvantne neodređenosti i haosa. Ali je bila neverovatno plodna dok je trajala.

Sada imamo Njutnov sistem u celini: tri zakona kretanja, zakon gravitacije, dva zakona održanja. Njime se može opisati padanje jabuke, let đuleta, njihanje klatna i kretanje planete.

Vreme je da pogledamo samu knjigu u kojoj je sve to izloženo — i da vidimo šta je u njoj bilo toliko neobično da su savremenici tvrdili da je razumeju jedva trojica ljudi u Evropi.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.