Kirhof: kako se računa razgranato kolo

Istorija elektrotehnike

Deo 14 · Kenigsberg, 1845.

Student koji je rešio otvoren problem

Vremenski se ovim tekstom vraćamo unazad — u godinu kada je Faradej još bio na vrhuncu, a njegove silnice tek trebalo da nađu svog matematičara. Dok se to dešavalo u Londonu, u Kenigsbergu se rešavao mnogo prizemniji problem, ali onaj sa kojim se svaki elektrotehničar sreće svakog radnog dana.

Gustav Robert Kirhof (Gustav Robert Kirchhoff, 1824–1887) rođen je u Kenigsbergu, gradu Imanuela Kanta, kao sin pravnika. Studirao je na tamošnjem univerzitetu, gde je pohađao seminar Franca Nojmana — jednog od retkih nemačkih fizičara koji su tada ozbiljno računali.

Godine 1845, kao student od dvadeset jedne godine, objavio je rad u kome je formulisao dva pravila za razgranata električna kola. To mu je bio seminarski zadatak.

Kasnije je postao jedan od najvećih fizičara svog veka — sa Bunzenom je zasnovao spektralnu analizu, otkrio cezijum i rubidijum, objasnio Fraunhoferove linije u sunčevom spektru i postavio zakon zračenja crnog tela iz koga će Plank izvesti kvantnu teoriju. Ali u elektrotehnici ga pamtimo po ova dva pravila napisana pre svega toga.

Problem

Omov zakon, koji smo obradili u tekstu „Om: struja, napon i otpor", rešava jedno kolo: izvor, žica, otpor, i struja koja teče u krug. Za to je dovoljan odnos I = U/R.

Ali stvarna kola nisu takva. Kola se granaju. Postoje čvorovi u kojima se struja deli na dva ili tri puta, postoje petlje koje dele zajedničke grane, postoji više izvora u istom kolu. Za takvu mrežu Omov zakon sam po sebi ne kaže ništa — ne zna se ni koliko struje ide kojom granom, ni u kom smeru.

Do Kirhofa se to rešavalo pipanjem i posebnim slučajevima. On je dao opšti postupak — i to takav da za bilo koju mrežu, ma koliko složenu, daje tačno onoliko jednačina koliko ima nepoznatih.

Prvo pravilo: čvor

Čvor je mesto u kolu gde se spajaju tri ili više provodnika.

Σ I = 0

• Σ — oznaka za zbir svih članova
• I — jačine struja u granama koje se sastaju u čvoru [amper, A], uzete sa znakom

Dogovor o znaku: struje koje ulaze u čvor uzimaju se sa plusom, one koje izlaze sa minusom. Može i obrnuto — bitno je da se u celom zadatku držiš jednog izbora.

Praktičnije rečeno: koliko struje uđe u čvor, toliko iz njega mora i da izađe.

Odakle to sledi. Nije reč o novom zakonu prirode. Ovo je neposredna posledica održanja naelektrisanja, koje smo uveli u tekstu o Frenklinu.

Zamisli da u čvor ulazi više naelektrisanja nego što izlazi. Onda bi se u toj tački naelektrisanje gomilalo. Ali čvor je komadić metala bez ikakve zapremine vredne pomena, a videli smo kod Kulona koliko su električne sile jake — i najmanji višak bi odmah stvorio polje koje bi dalji dotok zaustavio. Zato u ustaljenom stanju ništa ne može ni da se gomila ni da nestaje.

Drugo pravilo: kontura

Kontura je bilo koja zatvorena petlja u kolu — put kojim se krene iz jedne tačke i vrati u istu.

Σ e = Σ I R

• e — elektromotorne sile izvora u konturi [volt, V]
• I — struja kroz pojedini otpornik [amper, A]
• R — vrednost tog otpornika [om, Ω]

Isti odnos se često piše i kao Σ U = 0, gde se onda i naponi izvora računaju sa svojim znakom.

Praktičnije rečeno: koliko izvori u petlji podignu napon, toliko ga potrošači u istoj petlji spuste.

Odakle to sledi. Setimo se definicije napona iz teksta o Volti: napon je rad po jedinici naelektrisanja. Ako naelektrisanje obiđe zatvorenu petlju i vrati se na polazno mesto, ukupno izvršeni rad mora biti nula — inače bismo obilaskom kruga dobijali energiju ni iz čega.

Dakle drugo pravilo je zakon održanja energije, primenjen na kolo.

ZAPAMTI OVO

Kirhofova pravila nisu nova fizika. Ona su dva već poznata zakona održanja, prevedena na jezik kola:

• pravilo čvora ↔ održanje naelektrisanja
• pravilo konture ↔ održanje energije

Zato važe uvek i za svako kolo, bez obzira na to od čega je sastavljeno.

Primer

Kolo: izvor od 12 V, iz njega izlazi struja I kroz otpornik R₁ = 4 Ω. Zatim se kolo grana na dva paralelna otpornika, R₂ = 6 Ω i R₃ = 12 Ω, koji se ponovo spajaju i vraćaju na izvor.

Neka je I ukupna struja, I₂ struja kroz R₂, a I₃ struja kroz R₃.

1. I = I₂ + I₃   — prvo pravilo, primenjeno na tačku grananja
2. I₂ R₂ = I₃ R₃   — drugo pravilo za konturu koju čine same dve paralelne grane; u njoj nema izvora, pa je zbir nula
3. 6I₂ = 12I₃ ⇒ I₂ = 2I₃   — uvrstimo brojeve; kroz manji otpor teče veća struja
4. I = 2I₃ + I₃ = 3I₃   — vratimo u prvu jednačinu
5. 12 = I R₁ + I₃ R₃ = 4I + 12I₃   — drugo pravilo za veliku konturu kroz izvor, R₁ i R₃
6. 12 = 4 · 3I₃ + 12I₃ = 24I₃   — sve izrazimo preko jedne nepoznate
7. I₃ = 0,5 A, I₂ = 1 A, I = 1,5 A   — rešenje

Provera: pad napona na R₁ iznosi 1,5 · 4 = 6 V, a na paralelnoj vezi 0,5 · 12 = 6 V. Zbir je 12 V, koliko daje izvor. Kontura se zatvara.

Gde pravila prestaju da važe

Ovo je važno, jer se u praksi lako previdi.

Prvo pravilo pretpostavlja da se naelektrisanje nigde ne zadržava. To nije tačno ako u grani postoji kondenzator koji se puni — dok traje punjenje, naelektrisanje se stvarno gomila na oblozi.

Drugo pravilo pretpostavlja da je rad po zatvorenoj petlji nula. To prestaje da važi čim kroz konturu prolazi promenljivo magnetno polje — jer tada, po Faradejevom zakonu iz dvanaestog dela, u samoj petlji nastaje indukovani napon.

Oba ograničenja se prevazilaze proširenim oblikom pravila, u kome se ti članovi uračunaju. Za ustaljene struje u običnim kolima — a to je najveći deo prakse — pravila važe bez izuzetka.

Šta je ovo promenilo

Sa Kirhofom je analiza kola postala potpuna. Za bilo koju mrežu se sada mogu napisati jednačine i rešiti sistem — nema kola koje se ne može izračunati.

Praktična posledica je bila neposredna. Pedesetih godina devetnaestog veka gradile su se telegrafske mreže sa granama, relejima i vodovima različitih dužina; bez Kirhofovih pravila takva mreža se nije mogla projektovati nego samo isprobavati.

Ono što je nastalo iz njegovog rada zove se teorija električnih kola i do danas je zaseban predmet u svakoj školi elektrotehnike. Metod konturnih struja, metod potencijala čvorova, Tevenenova i Nortonova teorema — sve to su razrade dva pravila koja je napisao student u seminarskom radu.

Ali primeti šta u ovoj priči i dalje nedostaje. Znamo koliko struje teče kroz koju granu. Ne znamo šta se pri tome troši. Znamo da se žica greje — to se videlo još kod Voltinog stuba — ali nemamo nijedan izraz koji kaže koliko.

Za to je trebao čovek koji nije bio ni profesor ni student, nego vlasnik pivare u Salfordu, koji je merio temperaturu vode sa preciznošću kakvu tada niko nije imao.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.