Klatno: kako je nauka dobila sat
Istorija mehanike
Deo 4 · Piza i Hag, 1583–1673.
Luster u katedrali
Priča je poznata i, kao i ona o Krivom tornju, potiče od Vivijanija. Devetnaestogodišnji Galilej sedi u pizanskoj katedrali, dosađuje se na misi i gleda kako se veliki luster njiše na dugačkom lancu. Meri period sopstvenim pulsom — jedino čime raspolaže — i primećuje da vreme jednog zamaha ostaje isto i kad se luster smiruje.
Datum se obično navodi kao 1583. I ovde je oprez na mestu: luster koji danas visi u katedrali postavljen je 1587, dakle posle toga. Ali je pre njega tamo visio drugi, pa priča nije nemoguća — samo je nedokaziva.
Ono što nije sporno je da je Galilej klatnom ozbiljno bavio ceo život i da je o njemu pisao u Razgovorima iz 1638.
Šta je zapazio
Aparatura je bila prosta koliko može biti: kuglica okačena o konac, i način da se izbroji vreme.
Zapažanja, redom:
- Ako se klatno pusti sa velike visine ili sa male, period je isti. Veći zamah znači duži put, ali i veću brzinu, pa se izjednači. Ta osobina se zove izohronija — jednakovremenost.
- Ako se okači teža kuglica, period se ne menja. Masa ne ulazi u račun.
- Ako se konac produži, period raste — ali ne srazmerno. Da bi se period udvostručio, konac mora biti četiri puta duži.
Treće zapažanje je najvrednije, jer daje broj. Dvojica koja se čuju kao kvadratna zavisnost, ista kao kod padanja u prethodnom tekstu — i to nije slučajnost, o čemu odmah.
Matematika: period klatna
Današnji obrazac za period matematičkog klatna, dakle klatna kod kog je sva masa skupljena u tački a konac bez težine:
- T — period, vreme jednog punog zamaha tamo i nazad [sekunda, s]
- l — dužina klatna [metar, m]
- g — ubrzanje slobodnog pada, 9,81 [m/s2]
Pročitaj šta u obrascu stoji, a šta ne stoji.
Nema mase. Klatno sa olovnom i klatno sa drvenom kuglicom iste dužine imaju isti period. To je isti razlog zbog kog masa nije bila ni u zakonu padanja: teža kugla je jače privučena, ali je i teže pokrenuti, pa se to poništi. Zašto se poništi tačno — to je pitanje na koje odgovara Njutn, u sedmom delu ovog serijala.
Nema amplitude. Otud izohronija.
Dužina je pod korenom. Odatle Galilejevo pravilo: četiri puta duži konac daje dva puta duži period, jer je √4 = 2.
Primer. Koliko treba da bude dugačko klatno čiji je period tačno jedna sekunda?
- 1 = 2π · √(l/9,81) — uvrstimo traženi period
- 1/(2π) = √(l/9,81) ⇒ 0,1592 = √(l/9,81) — izdvojimo koren
- 0,02533 = l/9,81 — kvadriramo
- l ≈ 0,248 m — rezultat, oko 25 centimetara
Klatno koje otkucava sekundu u jednu stranu — dakle sa periodom od dve sekunde — dugačko je oko 99,4 cm. Taj broj je bio poznat i vredeće nam za koji pasus.
Izohronija nije tačna
Ovde treba biti pošten, jer je ovo mesto na kome je Galilej pogrešio — a greška je poučna.
Gornji obrazac važi približno, i to samo za male uglove. Tačan period zavisi od amplitude, i to ovako:
- otklon od 5° — period je za oko 0,05 posto duži od obrasca
- otklon od 20° — duži za oko 0,8 posto
- otklon od 60° — duži za oko 7 posto
Za mali otklon razlika je nemerljiva rukom i pulsom, i zato je Galilej video izohroniju. Sam je, doduše, u kasnijim godinama pisao da pri velikim otklonima nešto ne štima, ali je pri tvrdnji ostao.
Razlog je matematički i vredi ga razumeti, jer se u fizici stalno ponavlja. Sila koja klatno vraća ka ravnotežnom položaju srazmerna je sinusu ugla otklona. Ako bi bila srazmerna samom uglu, period ne bi zavisio od amplitude uopšte i izohronija bi bila savršena.
A za male uglove, izražene u radijanima, važi:
Za θ = 0,1 rad, dakle oko 5,7°, sinus iznosi 0,0998 — razlika je dve desetine promila. Zato se u tom području klatno ponaša kao da je izohrono, a nije.
ZAPAMTI OVO
Zamena sin θ ≈ θ zove se aproksimacija malih uglova i jedna je od najčešće korišćenih u celoj fizici.
Iz nje sledi i pojam harmonijskog oscilovanja — kretanja kod kog je vraćajuća sila srazmerna otklonu. Klatno, opruga, žica na instrumentu, i naizmenična struja iz serijala o elektrotehnici — sve to su ista matematika.
Zašto je to bilo toliko važno
Do sedamnaestog veka najbolji satovi bili su mehanički, sa tegom i zupčanicima, i grešili su po petnaest minuta dnevno. Peščani i vodeni satovi nisu bili bolji.
Sat koji greši petnaest minuta dnevno je beskoristan za nauku. Sa njim se ne može izmeriti ništa što traje manje od nekoliko sati.
Klatno je nudilo nešto potpuno novo: pojavu koja se sama ponavlja u jednakim razmacima, i to razmacima koji zavise samo od jedne veličine koju možeš da podesiš — dužine konca.
Galilej je to shvatio i pred kraj života, već slep, diktirao je sinu Vinčencu nacrt sata sa klatnom. Nacrt je sačuvan; sat nije napravljen. Galilej je umro 1642, sin nekoliko godina kasnije.
Hajgens
Kristijan Hajgens (Christiaan Huygens, 1629–1695), holandski matematičar i astronom, napravio je prvi upotrebljiv sat sa klatnom 1656, a patent uzeo naredne godine.
Rezultat je bio dramatičan. Greška je pala sa petnaest minuta dnevno na petnaest sekundi, a kasnijim poboljšanjima i ispod toga. To je najveći skok u tačnosti merenja vremena u istoriji do pojave kvarcnog oscilatora.
Hajgens je uočio i problem sa izohronijom, i rešio ga geometrijski. Pokazao je da bi klatno bilo savršeno izohrono kad bi se kuglica kretala ne po kružnom luku, nego po krivoj koja se zove cikloida — putanji koju opisuje tačka na obodu točka koji se kotrlja.
Zatim je dokazao nešto lepo: ako se konac klatna pri njihanju priljubljuje uz dva luka cikloide postavljena sa strane, kuglica se kreće baš po cikloidi. U praksi se to nije pokazalo isplativo — trenje o obraze je unosilo veću grešku nego što je ispravljalo — pa su satovi ostali sa malim amplitudama i kružnim lukom.
Hajgens je 1673. objavio Horologium Oscillatorium, delo koje se smatra jednom od najvažnijih knjiga u mehanici pre Njutna. U njemu je, uz teoriju klatna, izveo i izraz za centripetalno ubrzanje pri kružnom kretanju — što ćemo koristiti u trinaestom delu — i uveo pojam momenta inercije u klici.
Klatno kao merni instrument
Obrni obrazac i dobiješ nešto neočekivano korisno:
Izmeri dužinu klatna i njegov period, i dobiješ ubrzanje zemljine teže — sa tačnošću koju direktno merenje padanja ne može da dostigne, jer se period može meriti preko stotinu zamaha i time greška podeliti sa sto.
Tako je prvi put pouzdano izmereno g. I odmah se pokazalo nešto zanimljivo: vrednost nije svuda ista.
Francuski astronom Žan Rišer je 1672. odneo sat sa klatnom u Kajen u Južnoj Americi, blizu ekvatora, i ustanovio da zaostaje oko dva i po minuta dnevno. Da bi ga vratio u takt, morao je da skrati klatno.
Znači da je g na ekvatoru manje nego u Parizu. Njutn će kasnije to objasniti dvema pojavama: Zemlja nije lopta nego je spljoštena na polovima, pa je na ekvatoru površina dalje od središta; i Zemlja se okreće, pa deo teže odlazi na održavanje kružnog kretanja.
Klatno je, dakle, izmerilo oblik planete.
Šta je ovo promenilo
Prvo: nauka je dobila sat. To zvuči prizemno, a nije — bez pouzdanog merenja vremena ne postoji nijedan zakon o kretanju, jer u svakom od njih vreme stoji. Sve što u ovom serijalu sledi počiva na tome što je vreme postalo merljivo.
Drugo: pojavio se prvi periodičan proces upotrebljen kao merilo. Ta ideja se od tada nije promenila, samo je oscilator postajao bolji: klatno, opruga, kvarc, a danas atom cezijuma. Sekunda je od 1967. definisana preko određenog broja treperenja atoma — princip je isti kao kod Galilejevog lustera.
Treće: uveden je pojam oscilovanja, koji će se pokazati kao jedan od najopštijih u fizici. Isti obrazac opisuje klatno, oprugu, ton na žici, i strujno kolo sa kalemom i kondenzatorom o kome smo pisali u delu o Henriju.
Ali ostalo je i dalje neodgovoreno ono glavno pitanje ovog serijala. Znamo kako telo pada i kako se klatno njiše. Ne znamo zašto telo koje se kreće nastavlja da se kreće.
Aristotelov odgovor je bio da ne nastavlja, i da mu treba pokretač. Buridanov je bio da nastavlja dok mu ne ponestane impetusa.
Galilej je imao treći odgovor, i do njega je došao razmišljajući o kosoj ravni. Ako kugla koja se kotrlja naniže ubrzava, a kugla koja se kotrlja naviše usporava — šta radi kugla na ravnoj podlozi, koja nije ni naniže ni naviše?
Comments
Post a Comment