Količina kretanja: šta se ne gubi u sudaru

Istorija mehanike

Deo 8 · London, 1668–1687.

Pitanje o sudarima

Godine 1668. Kraljevsko društvo u Londonu raspisalo je zadatak: naći pravilo po kome se ponašaju tela pri sudaru. Pitanje nije bilo akademsko — ticalo se topovskih đuladi, brodova koji se sudaraju i mašina koje udaraju.

Odgovorila su trojica, nezavisno i skoro istovremeno: Džon Valis, Kristofer Ren — isti onaj koji je projektovao katedralu Svetog Pavla — i Kristijan Hajgens, koga smo upoznali kod klatna.

Sva trojica su našla istu veličinu. Njutn je devetnaest godina kasnije, u Principia, tu veličinu ugradio u temelj svog sistema.

Kako se do nje dolazi

Izvedimo je iz trećeg zakona, jer je izvođenje kratko i pokazuje odakle veličina uopšte dolazi.

Neka se dva tela sudare. Za vreme sudara telo A deluje na B silom F, a B na A silom −F. Sudar traje isto vreme za oba — dodiruju se i razdvajaju u istom trenutku.

1. Δp_A = −F · Δt   — promena kretanja tela A, po drugom zakonu u izvornom obliku
2. Δp_B = +F · Δt   — promena kretanja tela B; ista sila, suprotan smer
3. Δp_A + Δp_B = 0   — saberemo; poništavaju se
4. p_A + p_B = stalno   — ako se zbir ne menja, on je očuvan

Veličina koja se ne menja zove se količina kretanja ili impuls:

p = m · v

• p — količina kretanja, vektor [kilogram-metar u sekundi, kg·m/s]
• m — masa tela [kg]
• v — brzina, vektor [m/s]

ZAPAMTI OVO

Zakon održanja količine kretanja. U sistemu na koji spolja ne deluju sile, ukupna količina kretanja ostaje nepromenjena.

Ovo nije nov zakon — izveden je iz Njutnovog trećeg. Ali je opštiji od njega, jer važi i tamo gde pojam sile prestaje da bude upotrebljiv: u sudarima elementarnih čestica, pri raspadu jezgra, u kvantnoj mehanici.

I obrati pažnju na jednu reč: vektor. Količina kretanja ima pravac, i održava se po svakom pravcu posebno. To znači da se pri sudaru dva tela koja idu jedno prema drugom zbir može poništiti — ukupna količina kretanja je nula i pre i posle.

Dve vrste sudara

Količina kretanja se održava u svakom sudaru, bez izuzetka. Ali nešto drugo se ne održava uvek, i po tome se sudari dele.

Elastičan sudar — tela se odbiju i razdvoje. Dve bilijarske kugle, dve čelične kuglice. Ovde se, pored količine kretanja, održava i ono što ćemo u jedanaestom delu nazvati kinetičkom energijom.

Neelastičan sudar — tela se pri sudaru deformišu, zagreju ili se slepe. Automobili koji se sudare, metak koji se zabode u dasku. Količina kretanja se i dalje održava; energija se delom pretvori u toplotu i deformaciju.

Vredi zapamtiti tu razliku, jer je izvor mnogih zabuna: količina kretanja se održava uvek, energija ne uvek.

Primer: potpuno neelastičan sudar

Vagon mase 2000 kg ide brzinom 3 m/s i udari u vagon mase 4000 kg koji miruje. Zakače se i nastave zajedno. Kojom brzinom?

1. p_pre = 2000 · 3 + 4000 · 0 = 6000 kg·m/s   — ukupno pre sudara
2. p_posle = (2000 + 4000) · v   — posle se kreću kao jedno telo
3. 6000 = 6000 · v   — izjednačimo, jer se količina kretanja održava
4. v = 1 m/s   — rezultat

Primeti da smo rešili zadatak ne znajući ništa o tome šta se dešava tokom sudara — koliko je trajao, kolika je sila bila, kako su se kvačila deformisala. Zakoni održanja povezuju stanje pre i stanje posle, a ono između preskaču.

To je razlog zašto su zakoni održanja u fizici toliko moćni.

Uzmak

Isti zakon objašnjava zašto puška udari u rame.

Pre pucnja sve miruje, pa je ukupna količina kretanja nula. Posle pucnja zbir mora ostati nula — a zrno odleti napred. Znači da puška mora poći unazad, tačno toliko da se poništi.

m_z v_z = m_p v_p

Primer: zrno od 10 grama izleće brzinom 800 m/s iz puške mase 4 kg.

1. 0,01 · 800 = 8 kg·m/s   — količina kretanja zrna
2. 4 · v_p = 8   — ista vrednost mora otići na pušku
3. v_p = 2 m/s   — brzina uzmaka

Dve stvari vrede pažnje. Prvo: uzmak je četiristo puta sporiji od zrna, jer je puška četiristo puta masivnija. Drugo: baš zato je uzmak podnošljiv, iako je količina kretanja ista.

A zašto se rame ne polomi, iako prima istu količinu kretanja koju zrno nosi? Zato što je prima tokom dužeg vremena. Po drugom zakonu, ista promena količine kretanja podeljena većim vremenom daje manju silu. Otud i gumeni potiljak na kundaku.

Isti princip stoji iza vazdušnog jastuka u automobilu, iza savijanja kolena pri doskoku i iza kacige. Nijedno od toga ne smanjuje promenu količine kretanja — samo je razvlači na duže vreme.

Raketa

Najlepša posledica ovog zakona je da se telo može kretati u praznom prostoru, bez ičega od čega bi se odbilo.

Raketa izbacuje gasove unazad velikom brzinom. Da bi ukupna količina kretanja ostala ista, raketa mora dobiti jednaku količinu unapred.

Ovo je bilo sporno duže nego što bi se očekivalo. Godine 1920. Njujork Tajms je objavio uvodnik u kome se rugao Robertu Godardu, pioniru raketne tehnike, tvrdeći da raketa u vakuumu ne može da radi jer nema od čega da se odbije — i da Godard očigledno ne zna ni ono što se uči u srednjoj školi.

List je objavio ispravku 17. jula 1969, dan pošto je Apolo 11 krenuo ka Mesecu.

Vredi primetiti i zašto se kod rakete mora koristiti izvorni oblik drugog zakona, na koji smo ukazali u šestom delu: masa rakete se stalno smanjuje jer gorivo odlazi, pa F = ma sa stalnom masom ne važi. Ta razrada vodi ka Cioklovskijevoj jednačini, koja je osnov svakog proračuna leta u svemir.

Zašto se količina kretanja održava

Izveli smo je iz trećeg zakona, ali postoji dublji odgovor, koji je 1918. dala nemačka matematičarka Emi Neter.

Neter je dokazala teoremu koja povezuje zakone održanja sa simetrijama prirode. Za svaku simetriju postoji veličina koja se održava.

• Zakoni fizike su isti ovde i tamo — prostor je jednorodan. Odatle sledi održanje količine kretanja.
• Zakoni fizike su isti danas i sutra — vreme je jednorodno. Odatle održanje energije.
• Zakoni fizike su isti u svim pravcima — prostor je izotropan. Odatle održanje momenta impulsa, o kome u dvanaestom delu.

To je jedan od najlepših rezultata u fizici i vredi ga imati na umu: zakoni održanja nisu slučajna pravila nego posledice toga kakav je prostor u kome živimo.

Uzgred, o Emi Neter vredi znati i to da joj univerzitet u Getingenu godinama nije dozvoljavao da predaje pod svojim imenom, jer je bila žena; predavala je pod Hilbertovim. Godine 1933. je, kao Jevrejka, oterana iz Nemačke i preselila se u Ameriku, gde je umrla dve godine kasnije.

Šta je ovo promenilo

Prvo: mehanika je dobila prvi zakon održanja. To je nov tip zakona — ne kaže kako se nešto kreće, nego šta ostaje isto ma šta se dešavalo.

Drugo: problemi su se mogli rešavati bez poznavanja detalja. Šta se tačno dešava tokom sudara je nepregledno; zakon održanja to preskače.

Treće: pokazalo se da je ta veličina trajnija od Njutnovog sistema iz kog je izvedena. Njutnova mehanika ne važi za brzine bliske svetlosti ni za elementarne čestice — održanje količine kretanja važi i tamo, uz izmenjenu definiciju.

Ali sad se javlja problem koji je u sedamnaestom veku izazvao žestok spor.

Uzmi dve jednake kugle koje se kreću jedna prema drugoj istim brzinama. Ukupna količina kretanja je nula, jer su vektori suprotni. Sudare se i slepe. Sve stane.

Količina kretanja je i pre i posle nula — zakon je poštovan. Ali nešto je očigledno nestalo. Bilo je kretanja, sada ga nema. Kugle su se zagrejale i deformisale.

Njutnovci su tvrdili da je mv ono što se održava i da je time stvar rešena. Lajbnic je tvrdio da postoji druga veličina, srazmerna mv², i da je ona pravo merilo onoga što telo poseduje.

Spor je trajao pola veka, bio je ličan i ružan, i obe strane su bile u pravu.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.