Kruženje: sila koja te ne izbacuje

Istorija mehanike

Deo 13 · Kružno kretanje

Ubrzanje bez promene brzine

Kamen okrećeš na kanapu, ravnomerno. Brzina mu se ne menja — svakog trenutka juri jednako brzo.

A ipak ubrzava.

To zvuči kao protivrečnost samo dok se ne setimo da je brzina vektor. Ima veličinu i pravac. Kod kružnog kretanja veličina ostaje ista, ali se pravac stalno menja — i to je promena, dakle ubrzanje.

Po drugom Njutnovom zakonu, ako ima ubrzanja, mora postojati sila. Kod kamena na kanapu ta sila je očigledna: kanap ga vuče ka ruci. Pusti kanap i kamen odleti — ne u stranu, nego pravo napred, po tangenti, kako i nalaže zakon inercije iz petog dela.

Hajgens

Izraz za to ubrzanje izveo je Kristijan Hajgens, koga smo upoznali kod klatna u četvrtom delu. Objavio ga je 1673. u Horologium Oscillatorium, mada ga je imao ranije.

On je i skovao naziv centrifugalna sila — što je, kako ćemo videti, ime koje je izazvalo dva i po veka nesporazuma.

Izraz glasi:

a = v²/r

• a — centripetalno ubrzanje, usmereno ka središtu [m/s²]
• v — brzina po putanji [m/s]
• r — poluprečnik kružnice [m]

Reč centripetalno znači ka središtu; skovao ju je Njutn od latinskog petere, težiti ka.

Odakle sledi

Izvedimo ga preko obilaska cele kružnice, jer je tako najkraće.

1. v = 2πr/T   — brzina je obim podeljen vremenom obilaska
2. ω = 2π/T   — ugaona brzina; pun krug je 2π radijana
3. v = ωr   — veza dveju brzina, sledi iz prva dva reda
4. a = v²/r = ω²r = 4π²r/T²   — tri oblika istog izraza

Poslednji oblik je onaj koji smo koristili u desetom delu, kad smo računali ubrzanje Meseca.

Zašto je rezultat baš v²/r, a ne nešto drugo, može se videti geometrijski. Za mali pomak duž kružnice, vektor brzine se zaokrene za isti ugao za koji se zaokrenuo i položaj. Promena brzine je, dakle, srazmerna i samoj brzini i uglu — a ugao je srazmeran pređenom putu podeljenom poluprečnikom. Odatle dva puta brzina i jednom poluprečnik u imeniocu.

Sila koja to ubrzanje obezbeđuje je:

F = m v²/r

ZAPAMTI OVO

Centripetalna sila nije posebna vrsta sile. To je naziv za ulogu, a ne za poreklo.

Kod kamena na kanapu tu ulogu igra zategnutost kanapa. Kod planete gravitacija. Kod automobila u krivini trenje između guma i puta. Kod elektrona u atomu električna privlačnost. Uvek je to neka već poznata sila koja je slučajno usmerena ka središtu.

Sila koja ne postoji

Sad ono glavno.

Voziš se u krivini i osećaš kako te nešto izbacuje napolje. Svi to zovu centrifugalnom silom. Osećaj je stvaran.

A sile nema.

Ono što se zapravo dešava: tvoje telo bi, po inerciji, nastavilo pravo. Automobil skreće. Vrata automobila dolaze tebi u susret i guraju te ka središtu krivine.

Ne izbacuje te ništa napolje. Automobil te uvlači unutra, a tebi se čini suprotno jer si navikao da automobil smatraš mirnim.

Postavi se van automobila i pogledaj odozgo: nijedna sila ne ide napolje. Postoji samo sila ka središtu — trenje guma o put — i telo koje pokušava da ide pravo.

Isto je i sa vešom u centrifugi. Bubanj se okreće, voda i tkanina pokušavaju da idu pravo. Tkanina ne može, jer je zid drži. Voda može, jer izleti kroz rupice. Ništa je nije izbacilo — samo je nastavila pravo dok se bubanj zakrivio ispod nje.

Kada se ipak sme računati

Rečeno ovako, ispada da je centrifugalna sila prazna zabluda. Nije baš tako, i vredi biti precizan.

Setimo se prvog Njutnovog zakona iz šestog dela: on definiše u kojim sistemima važi F = ma. Automobil u krivini nije inercijalan sistem — on se okreće.

Ako baš hoćeš da računaš iz njegovog sistema, možeš — ali moraš uvesti dodatnu silu koja nema izvor ni protivsilu, i koja postoji samo zato što sistem nije inercijalan. Takve sile se zovu inercijalne ili prividne.

Centrifugalna sila je jedna od njih. Druga je Koriolisova sila, koja se javlja kod tela koja se kreću u sistemu koji rotira — i koja objašnjava zašto se cikloni na severnoj polulopti vrte suprotno nego na južnoj, i zašto se dugi projektil mora korigovati za rotaciju Zemlje.

Dakle: računati sa centrifugalnom silom je dozvoljeno i često zgodno. Ali treba znati da to nije sila kojom nešto na nešto deluje, nego računski dodatak zbog izbora sistema.

Primeri sa brojevima

Automobil u krivini. Vozilo mase 1200 kg ulazi u krivinu poluprečnika 50 m brzinom 60 km/h. Kolika sila mora da ga drži?

1. v = 60 km/h = 16,7 m/s   — prevedeno u osnovne jedinice
2. F = 1200 · 16,7² / 50   — uvrstimo
3. F ≈ 6690 N   — to mora obezbediti trenje guma

Sad udvostruči brzinu na 120 km/h. Pošto brzina ulazi na kvadrat, potrebna sila poraste četiri puta — na oko 26 800 N. A trenje guma ima svoju granicu i ne raste sa brzinom.

Zato se u krivinu ne ulazi brzo. Nije stvar u tome da je dvostruko opasnije nego u tome da je četvorostruko.

Otud i nagnute krivine na auto-putevima i stazama: kad je put nagnut ka unutra, deo sile obezbeđuje sam nagib, a ne samo trenje.

Prva kosmička brzina. Kojom brzinom telo mora da kruži tik iznad Zemljine površine da bi ostalo u orbiti?

1. mv²/R = mg   — gravitacija mora obezbediti tačno potrebno ubrzanje
2. v = √(gR)   — masa se skrati
3. v = √(9,81 · 6,371 · 10⁶)   — uvrstimo poluprečnik Zemlje
4. v ≈ 7900 m/s ≈ 28 400 km/h   — rezultat

To je brzina Njutnovog topovskog đuleta iz desetog dela — ono koje pada, ali nikada ne stiže do tla.

Bestežinsko stanje

Sad možemo do kraja razjasniti nešto što smo nagovestili u sedmom delu.

Astronaut u Međunarodnoj svemirskoj stanici lebdi. Uobičajeno objašnjenje je da tamo nema gravitacije.

To je netačno. Stanica je na oko 400 km visine, a poluprečnik Zemlje je 6371 km. Izračunaj:

1. r = 6371 + 400 = 6771 km   — rastojanje od središta Zemlje
2. odnos: (6371/6771)² ≈ 0,885   — kvadrat, jer sila opada sa kvadratom
3. g ≈ 8,7 m/s²   — skoro devedeset posto vrednosti na tlu

Astronaut, dakle, oseća gotovo punu Zemljinu težu. Lebdi zato što pada — zajedno sa stanicom, i sa istim ubrzanjem. A kad sve oko tebe pada isto kao ti, ništa te ne pritiska i nemaš od čega da osetiš težinu.

Isto bi osetio u liftu kome se prekine sajla, samo mnogo kraće.

Šta je ovo promenilo

Prvo: zaokružena je Njutnova mehanika. Sa izrazom za centripetalno ubrzanje mogu se računati orbite, krivine, rotirajuće mašine i sve što se kreće po zakrivljenoj putanji.

Drugo: razjašnjeno je da izbor sistema u kome računaš nije bez posledica. U jednom sistemu sila postoji, u drugom ne. To je uvod u pitanje koje će Ajnštajn postaviti do kraja.

Ovim je Njutnov sistem izložen u celini. Tri zakona kretanja, zakon gravitacije, tri zakona održanja, rotacija i kruženje. Sve što se u srednjoj školi uči pod imenom mehanike stoji u tih nekoliko obrazaca.

Ali dva veka posle Njutna, matematičari su otkrili da se ista mehanika može napisati na potpuno drugačiji način — bez pominjanja sile, samo preko energije. I da je taj drugi način, iako izgleda apstraktnije, moćniji.

Iz njega sledi zapanjujuća tvrdnja: telo koje se kreće od jedne tačke do druge bira, od svih zamislivih putanja, tačno onu za koju je jedna određena veličina najmanja.

Kao da unapred zna kuda ide.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.