Lagranž i Hamilton: mehanika bez sile
Istorija mehanike
Deo 14 · Berlin, Pariz i Dablin, 1744–1835.
Zašto pisati istu stvar iznova
Njutnova mehanika radi. Postavi sve sile, saberi ih, primeni F = ma, reši jednačine.
Problem je što za mnoge stvarne zadatke to postaje nepregledno. Perla nanizana na zakrivljenu žicu — koliko je sila kojom žica deluje na nju, u svakoj tački? Dvostruko klatno — koliko sila deluje u zglobu? Telo koje klizi niz pokretnu kosu ravan koja se i sama pomera?
U svim tim slučajevima postoje sile veze — sile kojima podloga, žica ili zglob drže telo na svom putu. One nisu unapred poznate, menjaju se tokom kretanja, a moraju se izračunati iako nas uopšte ne zanimaju.
Ovaj tekst je o načinu da se one potpuno izbegnu.
Najkraće vreme, ne najkraći put
Ideja iz koje je sve izraslo pojavila se u optici, i to mnogo ranije.
Poznato je od antike da se svetlost pri odbijanju kreće tako da je put najkraći. Ali pri prelasku iz vazduha u vodu svetlost se prelama — i tada put očigledno nije najkraći.
Pjer de Ferma je 1662. postavio drugo pravilo: svetlost bira put za koji joj treba najmanje vremena. Pošto kroz vodu ide sporije, isplati joj se da duži deo puta pređe kroz vazduh — i odatle prelamanje, sa tačno onim uglom koji se meri.
Slika koja to objašnjava: spasilac na plaži trči ka davljeniku. Trči brže nego što pliva. Neće ići pravo, nego će duže trčati po pesku i manje plivati. Put je duži, vreme kraće.
Uznemirujuće je što u tome ima nečeg kao namere. Kako svetlost zna koji put je najbrži, pre nego što krene?
Isto pitanje za mehaniku
Pjer Luj Mopertui je 1744. pokušao da nešto slično postavi za kretanje tela, uvodeći veličinu koju je nazvao dejstvom.
Njegova formulacija je bila neprecizna i on ju je branio pogrešnim razlozima — tvrdio je da je štedljivost prirode dokaz božje mudrosti, i upleo se u ružan spor sa Volterom koji ga je zbog toga ismejao. Ali je pojam ostao.
Tačan oblik dali su Ojler, pa Lagranž, i konačno Hamilton.
Lagranž
Žozef Luj Lagranž (1736–1813) rođen je u Torinu kao Đuzepe Lagrandža, radio u Berlinu na poziv Fridriha Velikog, pa u Parizu. Preživeo je Revoluciju, iako je Lavoazje, njegov prijatelj, giljotiniran — Lagranž je tim povodom zapisao da je trebalo trenutak da se odseče ta glava, a možda ni sto godina neće biti dovoljno da se stvori druga takva.
Godine 1788. objavio je Mécanique analytique, i u predgovoru se pohvalio nečim neobičnim: u celoj knjizi nema nijednog crteža.
To je bio ceo program. Mehanika se, tvrdio je, može svesti na algebru i analizu, bez geometrijskih konstrukcija kakve je koristio Njutn.
Središnja veličina je razlika dveju energija koje smo uveli u devetom delu:
- L — Lagranžijan [džul, J]
- Ek — kinetička energija
- Ep — potencijalna energija
Obrati pažnju: to je razlika, ne zbir. Zbir bi bio ukupna energija, koja se održava i koja je smislena. Razlika na prvi pogled nema nikakav smisao — i zaista ga nema, sve dok se ne vidi šta iz nje sledi.
Princip najmanjeg dejstva
Konačan oblik dao je Vilijam Rovan Hamilton (1805–1865), irski matematičar, dete koje je sa pet godina čitalo grčki i latinski, a sa deset persijski i arapski.
Definiši veličinu koja se zove dejstvo — zbir Lagranžijana duž celog puta:
- S — dejstvo [džul-sekunda, J·s]
A onda princip:
Strogo uzev, dejstvo mora biti stacionarno — najčešće je najmanje, ali ponekad samo takvo da se pri malim izmenama putanje ne menja. Ime je ipak ostalo.
ZAPAMTI OVO
Njutn i Hamilton kažu istu stvar na dva načina:
- Njutn: u svakom trenutku, sila određuje ubrzanje. Kretanje se gradi korak po korak, unapred.
- Hamilton: putanja je ona za koju je dejstvo najmanje. Kretanje se posmatra u celini, od početka do kraja.
Iz oba sledi isti rezultat, uvek. To su dva jezika za istu fiziku.
Provera na najprostijem primeru
Uzmimo telo bačeno uvis i pokažimo da princip daje ono što znamo.
Dejstvo je zbir razlike energija duž puta. Da bi zbir bio što manji, telu se isplati da:
- provede što više vremena visoko, gde je potencijalna energija velika a razlika mala
- ali da se pri tome kreće što sporije, jer velika brzina znači veliku kinetičku energiju a time i veliku razliku
Ta dva zahteva se sukobljavaju. Da bi se popelo visoko, telo mora da krene brzo — a to povećava dejstvo na početku.
Ravnoteža između njih daje tačno onu parabolu koju smo izveli u petom delu, iz Galilejevog razlaganja hica.
Za teže probleme se koriste jednačine koje iz principa slede, i zovu se Lagranžove jednačine. Njihov oblik nećemo pisati, jer traže račun varijacija — ali vredi znati šta se njima dobija: umesto sila u tri pravca za svako telo, pišeš jednu funkciju energije i iz nje mehanički izvedeš jednačine kretanja.
Zašto je to bolje
Tri praktične prednosti.
Sile veze nestaju. Ako perla klizi po žici, ne moraš da računaš kojom silom žica deluje. Dovoljno je da opišeš njen položaj jednim brojem — koliko je daleko duž žice — i sile veze se same izgube iz računa.
Koordinate biraš kako ti odgovara. Kod klatna nije zgodno pratiti x i y; zgodnije je pratiti ugao. Lagranžov postupak radi sa bilo kojim izborom, i to bez izmena.
Zakoni održanja se vide odmah. Ako se u Lagranžijanu neka veličina uopšte ne pojavljuje, njoj odgovarajuća veličina se održava. Ako se ne pojavljuje položaj — održava se količina kretanja. Ako se ne pojavljuje vreme — održava se energija. Ako ugao — moment impulsa.
To je upravo Neterina teorema iz osmog dela, koja je i formulisana u ovom jeziku. U Njutnovom zapisu se ta veza ne vidi; ovde je očigledna.
Hamiltonov oblik
Hamilton je 1833. dao još jedan zapis, u kome se umesto brzine koristi količina kretanja, a središnja veličina je ukupna energija:
Ovoga puta zbir, ne razlika. Umesto jedne jednačine drugog reda za svaku koordinatu, dobijaju se dve jednačine prvog reda — jedna za položaj, jedna za količinu kretanja.
Prednost je u tome što se stanje sistema opisuje tačkom u prostoru čije su koordinate položaji i količine kretanja. Taj prostor se zove fazni prostor, a kretanje sistema je putanja kroz njega.
To izgleda kao formalnost, a upravo je taj zapis postao osnova statističke fizike i kvantne mehanike.
Zašto je ovo važnije nego što izgleda
Da je ovo samo zgodniji način rešavanja zadataka, ne bi zasluživalo poseban tekst. Ali je ispalo mnogo više.
Kvantna mehanika. U Šredingerovoj jednačini iz 1926, središnja veličina je upravo Hamiltonijan. Ceo formalizam kvantne mehanike izgrađen je na Hamiltonovom zapisu, a ne na Njutnovom.
Fajnmanova formulacija. Ričard Fajnman je 1948. dao verziju kvantne mehanike u kojoj čestica ide svim mogućim putanjama odjednom, a svaka doprinosi sa težinom koja zavisi od njenog dejstva. Putanje sa dejstvom daleko od najmanjeg se međusobno poništavaju; ostaje ona klasična.
Tu je i odgovor na ono uznemirujuće pitanje sa početka teksta. Svetlost ne bira najbrži put i ne zna unapred kuda ide. Ona ide svim putevima; svi osim najbržeg se ponište.
Sve savremene teorije. Teorija polja, standardni model, opšta relativnost — sve se danas zapisuju preko Lagranžijana. Kad fizičar kaže da je „napisao Lagranžijan" neke teorije, to znači da ju je definisao potpuno.
Njutnov jezik je ostao u školama i u inženjerstvu. Lagranžov i Hamiltonov je jezik savremene fizike.
Šta je ovo promenilo
Prvo: pokazano je da ista fizika može imati više oblika, i da izbor oblika nije nevažan. Neki problemi su u jednom jeziku nerešivi a u drugom laki.
Drugo: pojam sile je prestao da bude neophodan. Mehanika se može izložiti do kraja bez ijednog pominjanja sile — samo preko energije. To je bilo priprema za fiziku u kojoj sila i nije osnovni pojam.
Treće: veza između simetrija i zakona održanja postala je vidljiva. To je danas jedan od najdubljih uvida u fizici.
Sa ovim je mehanika, kao zaokružena teorija, gotova. Postoje dva potpuna i međusobno saglasna načina da se opiše kretanje bilo čega — od zrna prašine do planete.
Do kraja devetnaestog veka vladalo je uverenje da je posao završen, i da ostaje samo doterivanje.
A ipak su se, pri kraju tog veka, nakupile tri stvari koje se u tu sliku nisu uklapale. Merkur je odstupao od izračunate putanje. Brzina svetlosti se ponašala nemoguće. I zagrejano telo je zračilo drugačije nego što je izlazilo iz svakog računa.
Comments
Post a Comment