Maksvel: četiri jednačine

Istorija elektrotehnike

Deo 20 · Kembridž i London, 1855–1865.

Dečak koji je pitao „šta je tome uzrok"

Džejms Klerk Maksvel (James Clerk Maxwell, 1831–1879) rođen je u Edinburgu, a odrastao na porodičnom imanju Glenler u jugozapadnoj Škotskoj. Majka mu je umrla od raka kad mu je bilo osam godina.

Kao dete je sve u kući rastavljao i o svemu pitao — porodica je pamtila da mu je omiljeno pitanje bilo šta je čemu uzrok. U školi u Edinburgu su mu se rugali zbog seljačkog naglaska i odeće koju mu je otac sam skrojio; nadenuli su mu nadimak Blesavko. Sa četrnaest godina je objavio prvi naučni rad, o načinu crtanja ovalnih krivih.

Studirao je u Edinburgu pa u Kembridžu, gde je 1854. diplomirao kao drugi najbolji na najtežem matematičkom ispitu tog doba.

Odmah zatim je pisao Vilijamu Tomsonu, koga smo obradili u sedamnaestom delu, i pitao ga odakle da počne sa elektricitetom. Tomson ga je uputio na Faradeja.

Maksvel je kasnije zapisao nešto važno o tome kako je čitao: odlučio je da ne čita nijednog matematičara koji je pisao o elektricitetu dok prvo ne pročita Faradeja. Hteo je da vidi pojavu Faradejevim očima, pre nego što je zatrpa tuđim formulama.

To je bila presudna odluka. Da je krenuo od francuske škole i dejstva na daljinu, verovatno bi napisao još jedan dobar rad o silama među naelektrisanjima — i ništa više.

Tri rada, deset godina

Posao je radio u tri koraka, sa razmacima od po nekoliko godina.

1855–1856, „O Faradejevim silnicama". Prvi pokušaj. Maksvel silnice poredi sa strujanjem nestišljive tečnosti kroz otporni medijum. Ne tvrdi da elektricitet jeste tečnost — izričito kaže da je to samo analogija koja pomaže da se pojava zamisli i izračuna. Rezultat je matematički zapis onoga što je Faradej opisao rečima.

Faradeju je poslao primerak. Odgovorio mu je pismom u kome kaže da je bio zapanjen kad je video koliko dobro matematika opisuje ono što je on video — i da nije očekivao da će se to uopšte moći.

1861–1862, „O fizičkim silnicama". Ovde Maksvel pravi mehanički model — i to jedan koji danas izgleda neverovatno. Zamišlja da je prostor ispunjen sitnim vrtlozima koji se okreću oko silnica magnetnog polja, a između njih još sitnije čestice koje se kotrljaju, kao kuglični ležajevi između zupčanika.

Model je bio nategnut i sam Maksvel je znao da nije stvaran. Ali je iz njega izvukao dve stvari: matematičku strukturu koja radi, i — najvažnije — člen koji je nedostajao.

1864–1865, „Dinamička teorija elektromagnetnog polja". Konačni rad. Mehanički model je izbačen; ostaju samo jednačine. Maksvel eksplicitno kaže da polje postoji u prostoru i da nosi energiju.

Punu razradu je objavio 1873. u dvotomnom delu A Treatise on Electricity and Magnetism.

Maksvel je u radu iz 1865. imao dvadeset jednačinu sa dvadeset promenljivih, pisanih u komponentama. Oblik u kome ih danas učimo — četiri jednačine sa nablom — dao je Oliver Hevisajd 1884, samouki engleski inženjer koji je razvio i vektorski zapis kojim se služimo. Isto je nezavisno uradio i Gibs u Americi. Tako da ono što zovemo Maksvelovim jednačinama nije oblik koji je Maksvel napisao, nego sažetak onoga što je dokazao.

Prva jednačina: Gausov zakon

Ovo je Kulonov zakon iz osmog dela, prepisan jezikom polja.

∇ · E = ρ/ε₀

• E — električno polje [volt po metru, V/m]
• ρ — zapreminska gustina naelektrisanja [kulon po kubnom metru, C/m³]
• ε₀ — dielektrična konstanta vakuuma, 8,854 · 10⁻¹² [F/m]

Integralni oblik, koji kazuje isto ali za celu oblast:

∮ E · dS = Q/ε₀

Šta kaže: električno polje izvire iz naelektrisanja. Gde ima pozitivnog naelektrisanja, tu su izvori silnica; gde ima negativnog, tu su ponori. Gde nema naelektrisanja, silnice samo prolaze.

Odakle sledi: setimo se rasuđivanja iz trinaestog dela, sa sferom oko tačkastog naelektrisanja. Ukupan broj silnica kroz sferu ne zavisi od njenog poluprečnika, a površina sfere raste kao 4πr² — otud polje opada kao 1/r². Gausov zakon je taj argument, uopšten na proizvoljan oblik površine.

Sad se vidi i zašto u Kulonovom zakonu stoji onaj činilac 4π, koji smo tada ostavili neobjašnjen: on je tu upravo zato da bi ova jednačina bila čista. Faradejev kavez iz trinaestog dela je takođe neposredna posledica ovog zakona.

Druga jednačina: nema magnetnih naelektrisanja

∇ · B = 0

• B — magnetna indukcija [tesla, T]

Integralni oblik:

∮ B · dS = 0

Šta kaže: magnetno polje nema izvora. Silnice nigde ne počinju i nigde se ne završavaju — one su zatvorene krivulje.

Praktično: ne postoji magnetni monopol, dakle severni pol bez južnog. Ako prelomiš magnet, ne dobiješ dva pola nego dva cela magneta — što je, setimo se, Petar Peregrin zapisao još 1269, u tekstu o Gilbertu.

Uporedi ovu jednačinu sa prvom. Razlika između njih je najdublja asimetrija u prirodi: električnog naelektrisanja ima, magnetnog nema. Zašto — ne zna se ni danas. Dirak je 1931. pokazao da bi postojanje makar jednog monopola objasnilo zašto je naelektrisanje kvantovano, pa se traga za njima decenijama. Nijedan nije nađen.

Treća jednačina: Faradejev zakon

∇ × E = −∂B/∂t

Integralni oblik, u kome se prepoznaje ono što smo pisali u dvanaestom delu:

∮ E · dl = −∂Φ/∂t

Šta kaže: promenljivo magnetno polje stvara električno polje koje se zatvara u petlju oko njega.

Obrati pažnju na jednu suptilnost. U dvanaestom delu smo govorili o zavojnici i indukovanom naponu. Ali u ovoj jednačini nema žice. Polje nastaje u praznom prostoru, bez obzira na to da li tu ima ičega da ga oseti. Žica je samo instrument kojim to primećujemo.

To je Faradejeva ideja iz trinaestog dela, dovedena do kraja.

Znak minus je Lencovo pravilo — indukovano polje se suprotstavlja promeni koja ga je izazvala, jer bi inače bio moguć perpetuum mobile.

Četvrta jednačina i pukotina u njoj

Amperov zakon iz desetog dela, zapisan operatorom, glasi ovako:

∇ × B = μ₀J

• J — gustina struje [amper po kvadratnom metru, A/m²]
• μ₀ — magnetna konstanta vakuuma, 4π · 10⁻⁷ [H/m]

Kaže: struja stvara magnetno polje koje je obavija. Sve što smo videli kod Ersteda.

Ali Maksvel je uočio da tako napisana jednačina protivreči zakonu održanja naelektrisanja.

Evo gde puca. Uzmi kolo sa kondenzatorom koji se puni, kakav smo obradili u šestom delu. Struja teče kroz žicu ka jednoj oblozi. Između obloga je izolator — tamo struje nema.

Sad primeni Amperov zakon u integralnom obliku na jednu petlju oko žice. Površinu koju ta petlja ograničava možemo izabrati kako hoćemo — Stoksova teorema iz prethodnog teksta ne kaže koju.

1. Izaberi ravnu površinu koja preseca žicu. Kroz nju prolazi struja I, pa je rezultat μ₀I.
2. Izaberi umesto toga površinu poput vreće, koja se izbočila i prolazi između obloga kondenzatora. Kroz nju ne prolazi nikakva struja, pa je rezultat nula.
3. Ista petlja, dva različita odgovora. Jednačina je nedosledna.

Ovo nije bilo eksperimentalno otkriće. Niko nije izmerio nikakvo neslaganje — efekat je bio nemerljivo mali za tadašnje instrumente. Maksvel je pukotinu našao razmišljajući o samoj jednačini.

Struja pomeranja

Rešenje: između obloga možda nema struje, ali ima nečega drugog. Kondenzator se puni, pa se električno polje između obloga menja.

Maksvel je pretpostavio da promena električnog polja deluje isto kao struja — da i ona stvara magnetno polje. Nazvao ju je strujom pomeranja.

Dopunjena jednačina glasi:

∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ · (∂E/∂t)

Proveri sada onu protivrečnost. Kroz površinu koja seče žicu prolazi struja. Kroz površinu koja prolazi između obloga nema struje, ali ima promene električnog polja — i novi član daje tačno isti rezultat. Nedoslednost je nestala.

ZAPAMTI OVO

Struja pomeranja nije struja. Ništa se ne kreće, ništa se ne prenosi, nema nosilaca naelektrisanja. Ime je istorijsko i potiče od Maksvelovog mehaničkog modela, u kome se nešto zaista pomeralo.

Ono što jeste: promena električnog polja stvara magnetno polje. Tačno onako kako, po Faradeju, promena magnetnog polja stvara električno.

Četiri jednačine na okupu

Za vakuum, gde nema materije:

∇ · E = ρ/ε₀

∇ · B = 0

∇ × E = −∂B/∂t

∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ · (∂E/∂t)

Pročitane redom, one kažu ovo:

• Električno polje izvire iz naelektrisanja.
• Magnetno polje ni iz čega ne izvire.
• Promenljivo magnetno polje uvrće električno.
• Struja i promenljivo električno polje uvrću magnetno.

Uz njih ide i izraz za silu na naelektrisanje, koji je kasnije formulisao Lorenc:

F = q(E + v × B)

• v — brzina naelektrisanja [m/s]
• q — naelektrisanje [C]

Jednačine kažu kako polja nastaju, Lorencov izraz kaže šta polja rade telima. Zajedno, to je potpun opis klasičnog elektromagnetizma. Sve što smo prošli u osamnaest tekstova sadržano je u ovih pet redova.

Šta je ovo promenilo

Prvo: elektricitet i magnetizam više nisu dve pojave koje se dodiruju, nego jedna pojava sa dva lica. Gilbert ih je 1600. razdvojio, Ersted 1820. povezao, a Maksvel 1865. spojio u jedno.

Drugo: polje je postalo stvarnost, a ne pomoćna slika. U ovim jednačinama polje ima sopstveni život — ono postoji, menja se, nosi energiju, i za to mu nije potrebno nikakvo telo u blizini.

Treće: pokazano je da se fizička teorija može ispraviti čistim razmišljanjem. Struja pomeranja nije došla iz laboratorije nego iz zahteva da jednačine ne protivreče same sebi. To je bio nov način rada u fizici, koji će u dvadesetom veku postati uobičajen.

A onda sledi ono zbog čega je ceo ovaj serijal i pisan.

Pogledaj treću i četvrtu jednačinu zajedno. Promenljivo B pravi E. Promenljivo E pravi B. Ako se jednom pokrene, jedno drugo hrani i nikakav izvor više nije potreban.

Maksvel je to izračunao. Iz jednačina je ispao talas — i brzina kojom se prostire.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.