Maksvel: talas koji je bio svetlost

Istorija elektrotehnike

Deo 21 · London i Karlsrue, 1862–1888.

Dve jednačine koje se hrane jedna drugom

Vratimo se na treću i četvrtu jednačinu iz prethodnog teksta, i pogledajmo ih zajedno u praznom prostoru — bez naelektrisanja i bez struje, dakle ρ = 0 i J = 0.

∇ × E = −∂B/∂t

∇ × B = μ₀ε₀ · (∂E/∂t)

Prva kaže: gde se magnetno polje menja, tu nastaje električno. Druga kaže: gde se električno polje menja, tu nastaje magnetno.

Zamisli šta to znači. Ako negde električno polje počne da se menja, ono napravi magnetno. To magnetno je novo, dakle i ono se menja — pa napravi električno malo dalje. To novo električno se takođe menja, pa pravi magnetno još dalje.

Poremećaj se sam sebe održava i putuje kroz prazan prostor. Nikakav izvor mu više nije potreban — dovoljno je da je jednom pokrenut.

To je slika. Sada da je proverimo računom.

Izvođenje talasne jednačine

Treba nam jedan identitet iz vektorske analize, koji navodim bez dokaza:

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇²A

Oznaka ∇² znači divergenciju gradijenta, dakle zbir drugih parcijalnih izvoda po sve tri ose. Zove se Laplasov operator.

Sada izvođenje, korak po korak:

1. ∇ × (∇ × E) = ∇ × (−∂B/∂t)   — primenimo rotor na obe strane treće jednačine
2. ∇ × (∇ × E) = −∂(∇ × B)/∂t   — rotor i izvod po vremenu se mogu zameniti mestima, jer se odnose na različite promenljive
3. ∇ × (∇ × E) = −μ₀ε₀ · (∂²E/∂t²)   — uvrstimo četvrtu jednačinu umesto ∇ × B
4. ∇(∇ · E) − ∇²E = −μ₀ε₀ · (∂²E/∂t²)   — levu stranu razvijemo pomoću identiteta
5. ∇ · E = 0 u praznom prostoru   — prva jednačina, jer nema naelektrisanja; prvi član otpada
6. ∇²E = μ₀ε₀ · (∂²E/∂t²)   — rezultat, uz promenu znaka na obe strane

Isti postupak, započet od četvrte jednačine, daje potpuno istu jednačinu za B.

Zašto je to talas

Dobijena jednačina nije nova. Ona je stara i dobro poznata — u fizici se pojavljuje svaki put kad nešto talasa.

Opšti oblik talasne jednačine, izveden još u osamnaestom veku za zategnutu žicu, glasi:

∇²u = (1/v²) · (∂²u/∂t²)

• u — veličina koja talasa; kod žice otklon, kod zvuka pritisak
• v — brzina prostiranja talasa [m/s]

Uporedi to sa onim što smo dobili. Oblik je identičan. Dakle električno polje se prostire kao talas, a brzina se očitava neposredno iz koeficijenta:

1/v² = μ₀ε₀   ⇒   v = 1/√(ε₀μ₀)

To je onaj isti izraz koji smo izračunali u tekstu „Veber i Kolrauš: broj koji niko nije prepoznao", i koji daje približno 2,998 · 10⁸ m/s.

Brzina svetlosti.

Zaključak koji je Maksvel izveo

Maksvel je 1862, još u okviru mehaničkog modela, primetio da mu brzina poremećaja ispada jednaka brzini svetlosti koju je izmerio Fizo. U radu je zapisao da se teško može izbeći zaključak da je svetlost poprečno talasanje one iste sredine koja prenosi električna i magnetna dejstva.

Vredi zastati nad težinom te rečenice. Optika i elektricitet su do tada bile dve potpuno odvojene nauke. Svetlost se proučavala sočivima, prizmama i rešetkama; elektricitet baterijama, žicama i galvanometrima. Nije postojao nijedan razlog da ijedan naučnik pomisli da imaju ikakve veze.

A onda iz jednačina koje opisuju kalemove i kondenzatore ispadne brzina svetlosti — i to bez ijednog optičkog merenja.

Maksvel je iz toga izveo dve tvrdnje. Prva: svetlost jeste elektromagnetni talas. Druga, još smelija: mora postojati čitav spektar takvih talasa, sa talasnim dužinama drugačijim od vidljivih. Svetlost je samo onaj deo koji naše oko slučajno vidi.

Kako talas izgleda

Iz jednačina se dobija i tačan oblik. Za ravan talas koji putuje duž ose z:

• E i B su oba upravna na pravac kretanja — talas je poprečan.
• E i B su međusobno upravni.
• Oba osciluju u fazi — istovremeno dostižu maksimum i istovremeno prolaze kroz nulu.
• Njihove amplitude stoje u odnosu E = cB.

Ovde treba biti oprezan sa slikom koja se često crta — dva sinusoidna talasa upravna jedan na drugi. Crtež je tačan, ali navodi na pogrešnu pomisao da polja nešto „premeštaju" jedno u drugo, kao klatno. Ne premeštaju: oba su u istom trenutku najjača i oba su u istom trenutku nula. Ono što ih održava nije razmena energije nego njihova promena.

Osnovna veza između talasne dužine i učestanosti važi i ovde:

c = λ · f

• λ — talasna dužina [metar, m]
• f — učestanost [herc, Hz]

Primer: radio-stanica na 100 MHz emituje talas dužine λ = 3 · 10⁸ / 10⁸ = 3 m. Otud i dužina antena.

Etar

Jedna stvar je Maksvelu ostala pogrešna, i vredi je objasniti ozbiljno, kao i sve ranije pogrešne teorije u ovom serijalu.

Maksvel je verovao u etar — nevidljivu sredinu koja ispunjava sav prostor i kroz koju se talas prostire.

Razlog je bio potpuno razuman. Svaki talas koji je čovek do tada poznavao bio je talasanje nečega. Zvuk je talasanje vazduha, talas na jezeru talasanje vode, talas u žici talasanje same žice. Ako uklonite sredinu, talasa nema — što se lako pokazuje zvonom u ispumpanom zvonu.

Zašto bi elektromagnetni talas bio izuzetak? Ako nešto talasa, mora postojati nešto što talasa.

Zamerke su bile ozbiljne još tada. Da bi preneo talas ovolike brzine, etar bi morao biti krući od čelika — a istovremeno toliko redak da planete kroz njega prolaze milionima godina bez usporavanja. To su protivrečna svojstva.

Majkelson i Morli su 1887. izveli merenje koje je trebalo da otkrije kretanje Zemlje kroz etar. Nisu našli ništa. Rešenje je 1905. dao Ajnštajn: etar ne postoji, a elektromagnetni talas je talasanje samog polja, kome nikakav nosilac nije potreban.

Zanimljivo je i ovo: Ajnštajn je do specijalne teorije relativnosti došao razmišljajući upravo o Maksvelovim jednačinama. One su, za razliku od Njutnove mehanike, već bile relativističke — sadržale su odgovor pre nego što je pitanje postavljeno. Rad iz 1905. nosi naslov o elektrodinamici tela u kretanju.

Herc

Maksvel je umro 1879. od raka stomaka, u četrdeset osmoj godini — od iste bolesti i u istim godinama kao njegova majka. Nije doživeo da vidi svoje talase.

Teorija je dugo bila sporna. U Nemačkoj se i dalje računalo po Veberovoj teoriji dejstva na daljinu, a Helmholc je 1879. raspisao nagradu Berlinske akademije za eksperiment koji bi presudio između te dve slike.

Zadatka se prihvatio njegov student Hajnrih Herc (Heinrich Hertz, 1857–1894), tada profesor u Karlsrueu.

Aparatura, 1886–1888:

• Predajnik: indukcioni kalem koji daje visok napon, priključen na dve metalne šipke sa kuglicama razmaknutim za nekoliko milimetara. Kad napon poraste dovoljno, preskoči varnica — a pražnjenje je, kako je Henri zapazio još 1842, oscilatorno. Nastaje kratak niz brzih oscilacija.
• Prijemnik: prsten od žice sa vrlo malim procepom, postavljen nekoliko metara dalje. Ničim nije spojen sa predajnikom.

Kad na predajniku preskoči varnica, u procepu prijemnika se javi sitna varnica. Herc ju je morao posmatrati u zamračenoj sobi, lupom.

To je bilo to. Nešto je prešlo kroz prostor bez ijedne žice.

Herc nije stao na tome. Dokazao je da se ti talasi ponašaju tačno kao svetlost: odbijaju se od metalne ploče, prelamaju kroz veliku prizmu od smole, mogu se polarizovati rešetkom od paralelnih žica, i grade stojeće talase kad se odbiju od zida. Iz rastojanja između čvorova stojećeg talasa izmerio je talasnu dužinu — oko 66 cm — i izračunao brzinu. Poklopila se sa brzinom svetlosti.

Kad su ga studenti pitali čemu to služi, Herc je odgovorio da nema nikakvu upotrebu i da je to samo eksperiment koji dokazuje da je Maksvel bio u pravu. Umro je 1894, sa trideset šest godina. Markoni je prvi patent za bežičnu telegrafiju prijavio 1896, dve godine kasnije.

Spektar

Maksvelovo predviđanje da vidljiva svetlost nije jedina ispostavilo se tačnim u punom obimu. Svi ovi talasi su ista pojava i razlikuju se samo po učestanosti:

• radio-talasi — od nekoliko kilometara do centimetara
• mikrotalasi — centimetri do milimetri
• infracrveno zračenje — otkrio Heršel 1800.
• vidljiva svetlost — od oko 380 do 750 nanometara
• ultraljubičasto zračenje — otkrio Riter 1801.
• rendgensko zračenje — Rendgen 1895.
• gama zračenje — Vilar 1900.

Vidljivi deo zauzima manje od jednog procenta poznatog spektra. Sve ostalo se ponaša po istim jednačinama.

ZAPAMTI OVO

Ceo lanac, u jednoj rečenici:

Iz merenja sile između naelektrisanih kuglica dolazi ε₀. Iz merenja sile između dve žice sa strujom dolazi μ₀. Iz njih dve sledi brzina — a ta brzina je brzina svetlosti.

Kulon i Amper su, ne znajući, izmerili koliko brzo putuje svetlost.

Kraj priče

Ovim se serijal zatvara — i vredi pogledati unazad na put koji smo prešli.

Počeli smo u Miletu, sa komadom ćilibara koji se protrlja vunom i privuče slamku. Grci su znali samo to: nešto privlači, i ne znamo šta.

Gilbert je razdvojio elektriku od magneta i dao im ime. Gerike je napravio mašinu koja elektricitet proizvodi. Grej ga je proveo kroz konopac. Diufe je našao da ima dva znaka. Lajdenska boca ga je sačuvala. Frenklin ga je izbrojao i doveo u vezu sa munjom. Kulon ga je izmerio. Volta je napravio izvor koji traje. Ersted je video da skreće iglu. Amper je to sveo na obrazac. Om je dao zakon kola. Faradej je našao indukciju i shvatio da prostor nije prazan. Maksvel je sve to napisao u četiri reda — i iz njih je ispao talas.

Od trljanja ćilibara do radija: dvadeset pet vekova, i svaki korak je bio potreban.

Vredi primetiti i koliko je toga na tom putu bilo pogrešno. Efluvijum, dva fluida, životinjski elektricitet, magnet koji ima dušu, kalorik, etar, Frenklinov obrnuti predznak. Nijedna od tih teorija nije bila glupa; svaka je objašnjavala ono što se moglo videti, i svaka je bila korisna dok nije nadmašena.

To važi i za ono što danas mislimo da znamo.

Jer Maksvelove jednačine nisu poslednja reč. One su klasična teorija, i ne objašnjavaju zašto zagrejano telo zrači baš onako kako zrači, ni zašto svetlost izbija elektrone iz metala tek iznad određene učestanosti. Odgovori na ta pitanja doveli su do kvantne teorije, a spoj kvantne teorije sa Maksvelom — do kvantne elektrodinamike, danas najtačnije proverene teorije u fizici.

Ali za sve što radi jedan elektrotehničar — za svaki kalem, kondenzator, motor, dalekovod, antenu i optičko vlakno — dovoljne su četiri jednačine koje je napisao Škot koga su u školi zvali Blesavko, polazeći od slika knjigovezačkog šegrta koji nije znao matematiku.

Ako sledeći put uzmeš u ruku parče ćilibara i protrljaš ga o rukav, znaj da držiš početak svega ovoga.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.