Naizmenična struja: faza, reaktansa i impedansa

Istorija elektrotehnike

Deo 22 · Struja koja se okreće

Odakle uopšte naizmenična struja

Naizmenična struja nije izmišljena. Ona je ono što generator prirodno daje — trebalo je truda da se dobije jednosmerna.

Vratimo se na Faradejev zakon iz dvanaestog dela. Ako se navojak okreće u magnetnom polju, fluks kroz njega se stalno menja: kad je ravan navojka upravna na polje, fluks je najveći; kad je paralelna, fluks je nula. Pri daljem okretanju fluks postaje negativan, jer polje sada prolazi kroz navojak sa druge strane.

Fluks se, dakle, menja po kosinusu ugla, a ugao raste ravnomerno sa vremenom. Indukovani napon je srazmeran brzini promene fluksa — a izvod kosinusa je sinus. Otud:

u(t) = U_m · sin(ωt)

• u(t) — trenutna vrednost napona [volt, V]
• U_m — najveća vrednost, amplituda [V]
• ω — kružna učestanost [radijan u sekundi, rad/s]
• t — vreme [sekunda, s]

Veza sa učestanošću i periodom:

ω = 2πf     f = 1/T

• f — učestanost [herc, Hz]
• T — period, trajanje jedne pune promene [s]

Za našu mrežu f = 50 Hz, dakle T = 20 ms, a ω = 314 rad/s.

Da bi se od toga dobila jednosmerna struja, na osovinu se mora staviti komutator — prsten isečen na segmente sa četkicama koje kliznu po njemu i pri svakom poluokretu preokrenu priključke. To je mehanički sklop koji se troši, varniči i ograničava napon. Prvi generatori su ga imali jer se tada nije umelo drugačije.

Efektivna vrednost

Postavlja se prvo praktično pitanje. Ako napon stalno raste i opada, i pola vremena je negativan, koliki je on zapravo?

Prosečna vrednost ne pomaže — ona je tačno nula, jer se pozitivna i negativna polovina ponište.

Zato se uzima merilo koje ima fizički smisao: efektivna vrednost je onaj jednosmerni napon koji bi na istom otporniku razvio istu toplotu.

Izvedimo je. Po Džulu iz petnaestog dela, trenutna snaga na otporniku je p = u²/R. Pošto u ulazi na kvadrat, negativna poluperioda greje isto kao pozitivna — kvadrat negativnog broja je pozitivan.

1. u² = U_m² · sin²(ωt)   — kvadriramo trenutnu vrednost
2. sin²(ωt) = (1 − cos(2ωt))/2   — poznati trigonometrijski identitet
3. srednja vrednost člana cos(2ωt) po celom periodu je nula   — kosinus jednako često daje pozitivno i negativno
4. srednja vrednost od u² je dakle U_m²/2   — ostaje samo polovina
5. U = √(U_m²/2) = U_m/√2   — koren, jer tražimo napon a ne njegov kvadrat

U = U_m/√2 ≈ 0,707 · U_m

Isto važi i za struju.

ZAPAMTI OVO

Kad se kaže da je mrežni napon 230 V, to je efektivna vrednost. Amplituda je 230 · √2 ≈ 325 V.

Svaki instrument koji meri naizmenične veličine pokazuje efektivnu vrednost, i sve nazivne vrednosti u katalozima su efektivne. Ali izolacija mora izdržati amplitudu — otud i razlika koja je bitna pri projektovanju.

Faza

Sada dolazi pojam koji je za sve dalje ključan.

Kod jednosmerne struje, napon i struja se dešavaju istovremeno — nema drugog izbora. Kod naizmenične, oni ne moraju da dostižu maksimum u istom trenutku.

Razlika u tome ko kada dostiže maksimum zove se fazni pomak, obeležava se sa φ i meri u stepenima ili radijanima:

i(t) = I_m · sin(ωt − φ)

Zašto do toga uopšte dolazi, sledi iz onoga što već znamo o tri osnovna elementa.

Otpornik. Po Omovom zakonu, struja je u svakom trenutku srazmerna naponu. Kad napon raste, raste i struja; kad je napon nula, i struja je nula. Fazni pomak je nula — kaže se da su u fazi.

Zavojnica. Po Henriju iz šesnaestog dela, napon na zavojnici srazmeran je brzini promene struje. Struja je najbrže rastuća baš onda kad prolazi kroz nulu; tada je napon najveći. A kad je struja u maksimumu, ona se trenutno ne menja, pa je napon nula.

Rezultat: struja kasni za naponom za četvrtinu perioda, dakle φ = 90°.

Kondenzator. Obrnuto. Struja u kondenzator teče samo dok se napon menja; kad je napon u maksimumu i miruje, struja je nula. Struja prednjači naponu za 90°.

Mnemotehnika koja se koristi kod nas: u zavojnici struja kasni, u kondenzatoru žuri.

Reaktansa i impedansa

Zavojnica i kondenzator se protive proticanju naizmenične struje, ali drugačije od otpornika — ne troše energiju nego je vraćaju. Njihovo protivljenje zove se reaktansa.

Za zavojnicu:

X_L = ωL = 2πfL

Za kondenzator:

X_C = 1/(ωC) = 1/(2πfC)

• X_L, X_C — reaktansa [om, Ω]
• L — induktivnost [henri, H]
• C — kapacitivnost [farad, F]

Obrati pažnju na suprotno ponašanje. Reaktansa zavojnice raste sa učestanošću — pri višoj učestanosti struja se brže menja, pa se zavojnica jače opire. Reaktansa kondenzatora opada — pri višoj učestanosti se on ne stigne ni napuniti pre nego što se smer promeni.

Otud pravila koja vrede zapamtiti: zavojnica propušta jednosmernu a koči visoke učestanosti; kondenzator ne propušta jednosmernu a lako propušta visoke. Na tome počiva svaki filtar.

Ukupno protivljenje kola zove se impedansa. Pošto otpornost i reaktansa deluju pomereno za 90°, ne sabiraju se prosto nego kao katete pravouglog trougla:

Z = √(R² + X²)

tan φ = X/R

Omov zakon onda i dalje važi, samo sa Z umesto R: I = U/Z.

Primer: kalem induktivnosti 0,1 H i otpornosti 20 Ω, priključen na mrežu 230 V, 50 Hz.

1. ω = 2π · 50 ≈ 314 rad/s   — kružna učestanost
2. X_L = 314 · 0,1 ≈ 31,4 Ω   — induktivna reaktansa
3. Z = √(20² + 31,4²) = √(400 + 986) ≈ 37,2 Ω   — impedansa
4. I = 230 / 37,2 ≈ 6,2 A   — struja
5. φ = arctan(31,4/20) ≈ 57,5°   — struja kasni za naponom

Snaga i faktor snage

Kod naizmenične struje snaga nije prosto proizvod napona i struje. Deo energije se u svakoj periodi pošalje potrošaču pa vrati natrag u izvor — to je energija koja ide u magnetno polje zavojnice ili električno polje kondenzatora, i iz njih se vraća.

Stvarno utrošena, aktivna snaga iznosi:

P = U · I · cos φ

• P — aktivna snaga [vat, W]
• cos φ — faktor snage, bez jedinice, između 0 i 1

Proizvod U · I zove se prividna snaga i meri se u voltamperima [VA]. Ona određuje koliko struje vod mora da podnese, bez obzira na to koliko se energije stvarno troši.

Zato je loš faktor snage skup: fabrika sa mnogo motora vuče veliku struju koja se dobrim delom samo šeta tamo-amo, greje vodove po Džulovom zakonu, a ne obavlja nikakav rad. Otud i kondenzatorske baterije koje se ugrađuju u industrijska postrojenja — one kompenzuju zaostajanje koje unose motori.

Zašto je sve ovo bilo potrebno

Ostaje glavno praktično pitanje: čemu uopšte komplikacija sa fazama, kad jednosmerna struja nema nijedan od ovih problema?

Odgovor je u Džulovom računu iz petnaestog dela. Pokazali smo da gubitak u vodu iznosi P_g = P²R/U² — dakle opada sa kvadratom napona. Za prenos na daljinu napon mora biti visok, a kod potrošača nizak.

Napon se menja transformatorom. A transformator radi samo na promenljivoj struji, jer počiva na Faradejevoj indukciji — potrebna je promena fluksa. Kroz transformator priključen na jednosmernu struju ne indukuje se ništa; namotaj se samo greje.

To je ceo argument, i on je bio presudan u sporu koji sledi. Jednosmerna struja se u to vreme nije mogla transformisati, pa se morala proizvoditi na naponu na kome se i troši — a to znači elektrana na svakih nekoliko ulica.

Ali naizmenična struja je imala jednu ozbiljnu manu, i ona ju je decenijama držala u zapećku. Nije imala motor.

Jednosmerni motor je bio dobro poznat i radio je izvrsno. Naizmenična struja je odlično svetlela, ali sve što je pokušano da se od nje napravi kao motor bilo je loše: takve mašine se nisu same pokretale, trebalo ih je zavrteti rukom, i imale su komutator sa svim njegovim nevoljama.

Rešenje je izmislio čovek koji je problem nosio u glavi šest godina, od jednog predavanja u Gracu, i kome je odgovor sinuo u parku u Budimpešti dok je sa prijateljem recitovao Getea.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.