Njutn: tri zakona kretanja

Istorija mehanike

Deo 6 · Kembridž, 1665–1687.

Dečak sa imanja

Isak Njutn (Isaac Newton, 1642–1727) rođen je u Vulstorpu u Linkolnširu, na malom poljoprivrednom imanju. Otac, nepismen seoski posednik, umro je tri meseca pre njegovog rođenja. Dete je bilo toliko slabašno da se, po porodičnom predanju, nije očekivalo da preživi dan.

Kad mu je bilo tri godine, majka se preudala i otišla u drugo selo, ostavivši ga baki. Taj rastanak ga je obeležio — u kasnijim beleškama o sopstvenim gresima pominje da je pomišljao da zapali kuću očuha i majke. Bio je usamljen, sujetan, osvetoljubiv i sklon žestokim svađama, i takav je ostao ceo život.

Majka ga je u sedamnaestoj godini povukla iz škole da vodi imanje. Bio je katastrofalan poljoprivrednik. Školski upravitelj je ubedio majku da ga vrati u školu, pa je 1661. upisao Triniti koledž u Kembridžu — kao subsizar, student koji školarinu odrađuje poslugom imućnijim kolegama.

Godine kuge

Godine 1665. u Londonu je izbila velika kuga. Univerzitet je zatvoren i studenti su poslati kućama. Njutn se vratio u Vulstorp i tamo proveo oko osamnaest meseci, sa prekidima, do 1667.

U tom periodu je, imajući dvadeset tri godine, uradio sledeće: zasnovao diferencijalni i integralni račun, razložio belu svetlost prizmom i pokazao da je sastavljena od boja, i došao do zamisli da sila koja drži Mesec u orbiti može biti ista ona koja obara jabuku.

Sam je kasnije zapisao da je u tim godinama bio na vrhuncu svojih moći i da je o matematici i filozofiji mislio više nego ikada posle.

Zatim je gotovo sve to ostavio neobjavljeno na dvadeset godina.

Zašto je toliko čekao

Razlozi su delom karakterni, delom praktični.

Godine 1672. objavio je rad o svetlosti i odmah upao u žestok spor sa Robertom Hukom, tada uticajnim članom Kraljevskog društva. Spor je bio ružan i trajao je godinama. Njutn je iz njega izvukao pouku da objavljivanje donosi samo neprijatnosti, i povukao se.

Uz to, veći deo tih dvadeset godina proveo je baveći se stvarima koje se danas retko pominju: alhemijom i teologijom. Ostavio je oko milion reči alhemijskih beležaka i još više teoloških, u kojima osporava učenje o Svetom Trojstvu — što je za člana Triniti koledža bilo opasno.

Ekonomista Džon Mejnard Kejns, koji je 1936. otkupio deo tih rukopisa, zapisao je da Njutn nije bio prvi naučnik novog doba nego poslednji od mađioničara. To je preterano, ali pokazuje koliko slika o njemu odstupa od stvarnosti.

Kako je knjiga ipak napisana

U avgustu 1684. Njutna je u Kembridžu posetio astronom Edmond Halej — onaj po kome je nazvana kometa.

Halej je sa Hukom i Renom raspravljao o pitanju koje niko nije umeo da reši: ako sila privlačenja opada sa kvadratom rastojanja, kakvom putanjom se kreće planeta? Nijedan od njih to nije mogao da izvede.

Postavio je pitanje Njutnu. Njutn je odmah odgovorio da bi to bila elipsa.

Halej ga je zapanjeno pitao otkud zna. Njutn je odgovorio da je to izračunao — i počeo da traži po papirima, ali nije mogao da nađe.

Halej je insistirao da izvođenje ponovi i pošalje. Njutn je poslao rad od devet strana. Zatim je nastavio da piše, i pisao dve i po godine.

Rezultat je Philosophiae Naturalis Principia Mathematica — Matematički principi prirodne filozofije — objavljen 5. jula 1687. Kraljevsko društvo nije imalo novca za štampu, jer ga je potrošilo na jednu knjigu o ribama koja se nije prodavala. Halej je štampu platio iz svog džepa.

Prvi zakon

Njutn na početku Principia postavlja tri zakona kretanja, koje naziva aksiomima. Prvi glasi, u prevodu:

Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja, osim ako je primorano da to stanje promeni silama koje na njega deluju.

To je Galilejev zakon inercije iz prethodnog teksta, u Dekartovoj pravolinijskoj verziji. Njutn ga nije otkrio i nije to ni tvrdio.

Postavlja se onda pitanje čemu služi kao poseban zakon, kad izgleda kao poseban slučaj drugog zakona — ako je sila nula, onda je i ubrzanje nula.

Odgovor je suptilan i danas ga formulišemo ovako: prvi zakon definiše u kojim sistemima važi drugi. Sistemi u kojima telo bez sile miruje ili se ravnomerno kreće zovu se inercijalni, i samo u njima važi F = ma.

Da to nije prazna sitnica, oseti se u autobusu koji naglo koči. Telo poleti napred, a nikakva sila ga nije gurnula — samo je nastavilo pravo dok se autobus usporavao. U sistemu vezanom za autobus izgleda kao da postoji sila koja nije od ničega; taj sistem nije inercijalan.

Drugi zakon

Njutnova formulacija je:

Promena kretanja srazmerna je sili koja deluje i odvija se duž prave po kojoj sila deluje.

Obrati pažnju da tu ne piše F = ma. Njutn pod „kretanjem" podrazumeva ono što danas zovemo količinom kretanja — proizvod mase i brzine, veličinu koju smo nazreli još kod Buridana u drugom delu.

Njegov zakon je, dakle, bliži ovome:

F = Δp/Δt

• F — sila, vektor [njutn, N]
• p = mv — količina kretanja [kg·m/s]
• Δt — vreme za koje se promena desila [s]

Ako se masa ne menja, odatle sledi poznati oblik:

1. F = Δ(mv)/Δt   — po definiciji
2. F = m · Δv/Δt   — masa je stalna, pa izlazi ispred
3. F = ma   — jer je promena brzine u vremenu upravo ubrzanje

F = m · a

Razlika između dva oblika nije akademska. Kod rakete masa se stalno smanjuje jer gorivo izleće, i tamo F = ma ne važi — mora se koristiti izvorni oblik. Isto važi i pri brzinama bliskim brzini svetlosti.

Jedinica sile je njutn i definiše se preko ovog zakona: jedan njutn je sila koja telu mase jedan kilogram daje ubrzanje od jednog metra u sekundi na kvadrat.

ZAPAMTI OVO

Sila ne izaziva kretanje. Sila izaziva ubrzanje — promenu kretanja.

Zato telo može da se kreće bez ijedne sile, i zato telo na koje deluje sila može trenutno da miruje. Kamen bačen uvis, u najvišoj tački, ima brzinu nula — a sila na njega je puna težina.

Treći zakon

Formulacija:

Svakom dejstvu uvek odgovara jednako protivdejstvo; ili, uzajamna dejstva dva tela jedno na drugo uvek su jednaka i usmerena na suprotne strane.

Ovo je zakon koji se najviše zloupotrebljava u razgovoru, a najmanje razume.

Najčešća zbunjenost je ovakva: ako konj vuče kola, a kola vuku konja jednakom silom, kako se onda ikuda kreću? Zar se sile ne poništavaju?

Odgovor je da se ne poništavaju, jer ne deluju na isto telo. Konj deluje na kola, kola deluju na konja. Da bi se videlo hoće li se kola pokrenuti, gledaju se samo sile na kola — a protivsila deluje na konja i tu ne ulazi u račun.

Sile se poništavaju samo kad deluju na isto telo. Par dejstvo–protivdejstvo nikada nije takav par.

Druga zbunjenost: ako Zemlja privlači jabuku, privlači li jabuka Zemlju? Da, i to jednakom silom. Ali Zemlja je toliko masivnija da je njeno ubrzanje nemerljivo — po drugom zakonu, isto ubrzanje podeljeno ogromnom masom daje praktično nulu.

Vredi razumeti i kako se, po trećem zakonu, uopšte hoda. Nogom guraš zemlju unazad; zemlja gura tebe unapred. Bez trenja nema šta da gurne — zato se na ledu ne može krenuti. Isto važi za raketu, koja izbacuje gasove unazad i time biva gurnuta napred, i kojoj za to nije potreban nikakav vazduh da se od njega odbije.

Zašto se zakoni ne mogu dokazati

Poslednja napomena, i važna je za razumevanje kako fizika radi.

Njutnovi zakoni se ne izvode ni iz čega. Oni su aksiomi — pretpostavke koje se uzimaju kao polazne, i koje se opravdavaju time što sve što iz njih sledi odgovara merenju.

Postoji i jedna zamka na koju se često ukazuje. Šta je sila? Ono što izaziva ubrzanje. Šta je masa? Ono što se opire ubrzanju. A drugi zakon ih povezuje — pa deluje kao da se vrtimo u krug.

Izlaz iz kruga je praktičan: sile se mogu meriti nezavisno od ubrzanja, na primer istezanjem opruge. Mase se mogu porediti nezavisno, na primer vagom. Kad se to uradi, drugi zakon postaje tvrdnja koja se može proveriti — i proverava se, milijardama puta dnevno, u svakom mostu i svakoj mašini.

Šta je ovo promenilo

Prvo: mehanika je dobila tri rečenice iz kojih sledi sve ostalo. Do Njutna su postojali pojedinačni zakoni — padanja, klatna, hica. Posle njega postoji jedan sistem, iz koga se svaki od tih zakona izvodi kao poseban slučaj.

Drugo: pojmovi sile i mase su dobili tačno značenje. Do tada su bili reči iz svakodnevnog govora; sada su veličine sa jedinicom, koje ulaze u račun.

Treće: uveden je način rada koji fizika koristi do danas — postavi mali broj pretpostavki, izvedi iz njih posledice matematički, uporedi sa merenjem. Maksvel je to isto uradio u serijalu o elektrotehnici, dva veka kasnije.

Ali u drugom zakonu stoji jedna veličina koju smo do sada koristili a nismo definisali. Šta je zapravo masa?

Nije težina — težina se menja sa mestom, a masa ne. Nije zapremina — kilogram olova i kilogram perja zauzimaju vrlo različit prostor. Nije ni količina materije u prostom smislu, jer se tada mora reći šta je materija.

A postoji i nešto još čudnije. U drugom zakonu masa se pojavljuje kao mera opiranja ubrzanju. U zakonu gravitacije, koji nas čeka u devetom delu, ista veličina se pojavljuje kao mera privlačenja.

Nema nikakvog razloga da to budu ista stvar. A jesu — i upravo zato sva tela padaju istom brzinom.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.