Rad i energija: spor koji je trajao pola veka

Istorija mehanike

Deo 9 · Evropa, 1686–1743.

Spor oko žive sile

Godine 1686, godinu dana pre nego što će izaći Principia, Gotfrid Vilhelm Lajbnic (1646–1716) objavio je kratak članak sa provokativnim naslovom — otprilike: Kratak dokaz čuvene Dekartove greške.

Lajbnic je bio nemački filozof, matematičar, pravnik i diplomata, jedan od poslednjih ljudi koji je ozbiljno radio u gotovo svakoj oblasti svog doba. Sa Njutnom je bio u dugom i vrlo ružnom sporu oko toga ko je prvi zasnovao diferencijalni račun — spor koji je zagorčao poslednje godine obojici i podelio evropsku matematiku na dva tabora.

Ovaj drugi spor, o kome je ovde reč, bio je deo istog sukoba.

Dekart je tvrdio da se u svetu održava količina kretanja, koju je merio proizvodom mase i brzine. Njutnovci su to prihvatili, sa ispravkom da je reč o vektoru — kako smo videli u prethodnom tekstu.

Lajbnic je tvrdio da to nije prava mera, i da se održava nešto drugo, srazmerno mv². Nazvao ju je vis viva — živa sila.

Njegov argument

Lajbnicov dokaz je oslanjao se na Galilejev zakon padanja iz trećeg dela ovog serijala, i ide ovako.

Podigni telo mase 1 kg na visinu od 4 metra. Podigni telo mase 4 kg na visinu od 1 metar. Uloženi trud je isti — jer je u oba slučaja proizvod težine i visine isti.

Sada ih pusti da padnu i izračunaj brzinu kojom stižu do tla:

1. v = √(2gh)   — sledi iz Galilejevog zakona; izvešćemo ga za koji pasus
2. telo od 1 kg sa 4 m: v = √(2 · 9,81 · 4) ≈ 8,86 m/s
3. telo od 4 kg sa 1 m: v = √(2 · 9,81 · 1) ≈ 4,43 m/s

Sada uporedi dve veličine:

• mv: prvo telo 1 · 8,86 = 8,86; drugo 4 · 4,43 = 17,7. Nije isto.
• mv²: prvo 1 · 78,5 = 78,5; drugo 4 · 19,6 = 78,5. Isto.

Zaključak koji je Lajbnic izvukao: ako je uloženo isto, a mv ispada različito a mv² isto, onda je mv² prava mera onoga što je telo dobilo.

Zašto je spor trajao pola veka

Rešenje je prostije nego što je izgledalo, i danas se vidi odmah: obe veličine se održavaju, ali u različitim smislovima i pod različitim uslovima.

Količina kretanja je vektor i održava se uvek, u svakom sudaru. Živa sila je skalar, održava se samo u elastičnim sudarima, a u neelastičnim se deo pretvori u toplotu.

Spor je trajao toliko dugo iz nekoliko razloga koji nemaju veze sa fizikom.

Prvi je nacionalni tabor. Posle svađe oko diferencijalnog računa, engleski i kontinentalni matematičari su gotovo prestali da čitaju jedni druge. Englezi su decenijama koristili Njutnove nezgrapne oznake umesto Lajbnicovih, na svoju štetu.

Drugi je terminološki. Reč sila se u to vreme koristila za nekoliko različitih stvari i niko nije razdvajao ono što danas zovemo silom, impulsom i energijom.

Treći je da nije postojao pojam koji bi ih pomirio — pojam rada. Njega je uveo tek francuski inženjer Gustav Kariolis 1829, i tek tada se videlo da nema nikakvog sukoba.

Spor je smirila i Emili di Šatle (Émilie du Châtelet, 1706–1749), francuska matematičarka koja je prevela Principia na francuski i dopunila ih komentarom. Ona je pokazala kako se obe veličine uklapaju u isti okvir, oslanjajući se na Holanđanina Sgravesandea, koji je puštao mesingane kugle da padaju u meku glinu i merio dubinu udubljenja. Rezultat: dubina raste sa kvadratom brzine, ne sa brzinom.

Rad

Pojam koji je nedostajao definiše se ovako:

A = F · s · cos α

• A — rad [džul, J]
• F — sila koja deluje [njutn, N]
• s — pređeni put [metar, m]
• α — ugao između sile i pravca kretanja

Kosinus je tu zato što se računa samo ona komponenta sile koja je duž kretanja. Ako sila deluje upravno na put, rad je nula.

Odatle nekoliko posledica koje se u razgovoru čine paradoksalnim:

• Ako držiš teg u ispruženoj ruci i ne mrdaš — fizički rad je nula, jer nema puta. Mišići se umaraju iz drugih razloga, ali telo ne prima rad.
• Ako nosiš ranac vodoravno, sila kojom ga držiš je uspravna a kretanje vodoravno — rad je opet nula.
• Isto važi za silu koja drži planetu u kružnoj orbiti: upravna je na kretanje, pa ne vrši rad. Zato planeta ne ubrzava.

Jedinica rada je džul — po Džejmsu Preskotu Džulu, koga smo obradili u serijalu o elektrotehnici. Jedan džul je rad sile od jednog njutna na putu od jednog metra.

Kinetička energija

Sad izvedimo Lajbnicovu veličinu iz Njutnovih zakona i vidimo odakle dolazi.

Neka sila deluje na telo koje miruje i ubrza ga do brzine v na putu s.

1. A = F s   — rad; sila je duž kretanja pa je kosinus jedan
2. F = m a   — drugi Njutnov zakon
3. s = v²/(2a)   — iz Galilejevog zakona; put izražen preko krajnje brzine
4. A = m a · v²/(2a)   — uvrstimo oboje
5. A = (1/2) m v²   — ubrzanje se skrati

E_k = (1/2) · m · v²

• E_k — kinetička energija [džul, J]

Lajbnicova živa sila je, dakle, dvostruka kinetička energija. Polovina je došla iz izvođenja i on je nije imao — ali je oblik pogodio tačno.

Uzgred, ovo izvođenje daje i obrazac koji smo maločas koristili bez dokaza. Ako telo pada sa visine h, rad koji sila teže izvrši je mgh, pa je (1/2)mv² = mgh, odakle v = √(2gh).

ZAPAMTI OVO

Kinetička energija zavisi od kvadrata brzine. Dvostruko brže telo nosi četiri puta više energije.

Zato zaustavni put automobila raste sa kvadratom brzine, a ne srazmerno njoj. Sa 100 km/h zaustavni put je četiri puta duži nego sa 50 km/h, a ne dvostruko. To je najkorisnija posledica ovog obrasca u svakodnevnom životu.

Potencijalna energija

Kad podigneš telo, uložiš rad — a telo se ne kreće brže. Gde je otišao rad?

Uskladišten je u položaju tela. Ako ga pustiš, vraća se kao kretanje.

Rad podizanja iznosi:

E_p = m · g · h

• E_p — potencijalna energija u polju teže [džul, J]
• h — visina iznad izabranog nultog nivoa [m]

Obrati pažnju na reč izabranog. Potencijalna energija nema apsolutnu vrednost — bira se odakle se meri visina, i samo su razlike važne. Isto smo videli kod električnog potencijala u serijalu o elektrotehnici.

Održanje mehaničke energije

Ako nema trenja, zbir dveju energija ostaje isti tokom celog kretanja:

E_k + E_p = stalno

Telo koje pada gubi visinu a dobija brzinu; klatno na najvišoj tački ima svu energiju u položaju a nijednu u kretanju, a u najnižoj obrnuto.

Primer. Kolikom brzinom telo stiže do dna tobogana visokog 5 metara, ako se zanemari trenje?

1. mgh = (1/2)mv²   — sva potencijalna pređe u kinetičku
2. v² = 2gh = 2 · 9,81 · 5 = 98,1   — masa se skrati
3. v ≈ 9,9 m/s   — rezultat

Masa je ispala iz računa, kao i uvek kad je u pitanju gravitacija. I obrati pažnju na nešto važno: oblik tobogana ne ulazi u račun. Bitna je samo visinska razlika. Da li je putanja strma, blaga ili vijugava — svejedno.

To je isti rezultat do kog je Galilej došao sa dve nagnute ravni u petom delu, sada izveden računom.

A gde je energija kad kugle stanu

Vratimo se na pitanje kojim se završio prethodni tekst. Dve kugle se sudare, slepe i stanu. Kinetička energija je nestala. Gde je?

Odgovor je da je pretvorena u toplotu i deformaciju. Kugle su neznatno toplije nego pre sudara.

Ali u sedamnaestom i osamnaestom veku taj odgovor nije bio moguć, jer se toplota smatrala posebnom supstancom — kalorikom, o kome smo pisali u tekstu o Džulu. Nije postojala veza između mehaničkog kretanja i toplote.

Zato je izgledalo da energija u neelastičnom sudaru zaista nestaje, i to je bio ozbiljan prigovor Lajbnicovoj strani.

Vezu je uspostavio Džul svojim merenjima 1840-ih, i tek tada je zakon održanja energije mogao biti izrečen u punom obliku: energija se ne stvara i ne uništava, samo prelazi iz jednog oblika u drugi.

Do tada je mehanika imala samo delimičan zakon — onaj koji važi kad nema trenja, dakle skoro nikada.

Snaga

Uz rad ide i veličina koja kazuje koliko brzo se on obavlja:

P = A/t

• P — snaga [vat, W]

Isti pojam koji smo uveli u serijalu o elektrotehnici. Ovde je zanimljivo poreklo jedinice koja mu je prethodila.

Džejms Vat, koji je usavršio parnu mašinu, imao je problem da kupcima objasni koliko njegova mašina vredi. Rešio je da je uporedi sa konjima, jer su oni bili merilo koje svi razumeju. Merio je koliko rada konj obavi vukući teret iz rudnika i uveo konjsku snagu.

Jedna konjska snaga je oko 735 vati. Vat je verovatno namerno postavio merilo malo previsoko — tako da njegova mašina od deset konjskih snaga sigurno zameni deset konja i kupac nema šta da prigovori.

Šta je ovo promenilo

Prvo: mehanika je dobila drugi način računanja. Do sada smo pratili sile i ubrzanja tokom vremena; sada se problem može rešiti poređenjem stanja pre i posle, preko energije. Za mnoge zadatke je taj put neuporedivo kraći.

Drugo: uveden je pojam energije, koji će prerasti mehaniku i postati najopštiji pojam u celoj fizici. Toplota, elektricitet, hemija, zračenje, čak i masa — sve to su danas oblici energije, i sve se meri istom jedinicom.

Treće: pokazano je da dve strane u sporu mogu obe biti u pravu, i da spor često nastaje zato što se raspravlja o dve različite stvari pod istim imenom.

Sada imamo skoro sve. Tri zakona, dve veličine koje se održavaju, pojam energije. Nedostaje jedna jedina sila — ona koja je bila povod da Halej uopšte poseti Njutna.

Kepler je iz Tihovih merenja izveo tri pravila po kojima se planete kreću. Pravila su tačna i niko nije znao odakle dolaze.

A u Vulstorpu je jedan dvadesettrogodišnjak, u godini kuge, pomislio nešto što do tada nikome nije palo na pamet: da sila koja obara jabuku i sila koja drži Mesec možda nisu dve sile.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.