Rotacija: cela mehanika još jednom

Istorija mehanike

Deo 12 · Obrtanje

Poluga, dve hiljade godina ranije

Jedan deo mehanike bio je rešen pre Aristotela i ostao tačan sve vreme dok je ostatak bio pogrešan.

Arhimed iz Sirakuze (oko 287–212. p.n.e.) postavio je zakon poluge i dokazao ga strogo, geometrijski. Njemu se pripisuje i rečenica da bi, kad bi imao gde da stane, pomerio Zemlju.

Zakon poluge glasi: poluga je u ravnoteži kad je proizvod sile i njenog kraka jednak sa obe strane oslonca.

F₁ · r₁ = F₂ · r₂

Proizvod sile i rastojanja od ose zove se moment sile:

M = F · r · sin α

• M — moment sile [njutn-metar, N·m]
• F — sila [njutn, N]
• r — rastojanje od ose obrtanja [metar, m]
• α — ugao između sile i kraka

Sinus je tu jer se računa samo komponenta sile upravna na krak. Ako guraš vrata duž same ravni vrata, ništa se ne dešava — pa je i moment nula.

Otud i praktična pravila koja svako zna: kvaka je na suprotnoj strani od šarki, a ne pored njih; duži ključ lakše odvrće šraf; i teret bliži osovini kolica je lakše nositi.

Ista mehanika, druge veličine

Ovde je najlepša stvar u celom tekstu. Rotaciona mehanika nije nova fizika — to je Njutnova mehanika u kojoj je svaka veličina zamenjena svojim obrtnim parnjakom.

Poređaj ih jedno pored drugog:

• put s ↔ ugao φ [radijan]
• brzina v ↔ ugaona brzina ω [rad/s]
• ubrzanje a ↔ ugaono ubrzanje ε [rad/s²]
• sila F ↔ moment sile M
• masa m ↔ moment inercije I
• količina kretanja p ↔ moment impulsa L

A zakoni izgledaju isto:

F = m a   ⇔   M = I ε

p = m v   ⇔   L = I ω

E_k = (1/2)m v²   ⇔   E_k = (1/2)I ω²

Ako si razumeo prvu polovinu serijala, drugu ne moraš da učiš iznova — samo da prevedeš.

Moment inercije

Jedina veličina koja traži objašnjenje je moment inercije, jer nema tako neposrednog smisla kao masa.

Za jednu tačkastu masu on iznosi:

I = m · r²

• I — moment inercije [kg·m²]
• r — rastojanje mase od ose obrtanja [m]

Za telo se sabiraju doprinosi svih njegovih delića. Ključno je da rastojanje ulazi na kvadrat — pa masa udaljena od ose doprinosi mnogo više od iste mase blizu ose.

Zato moment inercije ne zavisi samo od toga koliko masе telo ima, nego i od toga kako je raspoređena, i od toga oko koje ose se telo obrće. Isto telo ima različit moment inercije za različite ose.

Nekoliko vrednosti za tela mase m:

• obruč, osa kroz središte: I = m R²
• pun valjak ili disk: I = (1/2) m R²
• puna lopta: I = (2/5) m R²

Obruč ima najveći, jer mu je sva masa na obodu. Lopta najmanji, jer joj je masa raspoređena i blizu ose.

Trka niz kosu ravan

Iz toga sledi ogled koji se lako izvodi kod kuće i koji zbunjuje.

Pusti niz istu kosu ravan obruč, pun valjak i loptu. Koje stiže prvo?

Nema veze sa masom ni sa poluprečnikom. Redosled je: lopta, pa valjak, pa obruč — uvek isti.

Razlog je u tome kako se deli energija. Potencijalna energija mgh pretvara se u zbir dve kinetičke — one od pravolinijskog kretanja i one od obrtanja:

1. mgh = (1/2)mv² + (1/2)Iω²   — energija se deli na dva dela
2. telo sa većim I više energije mora da uloži u obrtanje, pa mu manje ostaje za kretanje napred

Obruč, koji ima najveći moment inercije, najviše energije potroši na to da zavrti sam sebe — i zato stiže poslednji.

Isti razlog stoji iza toga zašto se od dve konzerve iste veličine ona sa supom kotrlja brže od one sa gustim sadržajem: tečnost se unutra ne zavrti sa limenkom, pa ne troši energiju na obrtanje.

Moment impulsa i njegovo održanje

Kao što se količina kretanja održava kad nema spoljašnjih sila, tako se moment impulsa održava kad nema spoljašnjih momenata:

I₁ω₁ = I₂ω₂

Odatle sledi najpoznatiji prizor u ovom tekstu. Klizačica se okreće raširenih ruku, pa ih naglo skupi uz telo — i ubrza.

Skupljanjem ruku smanjila je moment inercije, jer je masu ruku približila osi. Proizvod mora ostati isti, pa ugaona brzina mora porasti.

ZAPAMTI OVO

Klizačica se ne ubrzava „ni od čega". Ona uloži rad da bi skupila ruke — mora da ih povuče protiv sile koja ih izbacuje napolje.

Moment impulsa je isti pre i posle, ali kinetička energija poraste, i to tačno za onoliko koliko je rada uloženo. Zakon održanja momenta impulsa ne znači da se energija ne menja.

Isti zakon objašnjava i drugi Keplerov zakon iz desetog dela. Planeta bliže Suncu ima manji krak, pa mora imati veću brzinu — otud i pravilo o jednakim površinama za jednaka vremena.

I objašnjava zašto se Zemljina osa ne prevrće, zašto se maca u padu okrene na noge, i zašto neutronska zvezda — ostatak zvezde koja se sažela sa milion kilometara na dvadesetak — rotira stotinama puta u sekundi.

Zašto bicikl ne pada

Moment impulsa je vektor, usmeren duž ose obrtanja. To znači da se ne održava samo njegova veličina nego i pravac.

Telo koje se brzo obrće opire se svakom pokušaju da mu se osa zaokrene. Otud čigra koja stoji uspravno dok se vrti, a padne čim uspori.

Isto važi za projektil iz olučenog topovskog cevi, za satelit koji se stabilizuje obrtanjem, i za žiroskop u avionskim instrumentima — koji zadržava pravac ma kako se avion okretao, i time služi kao veštački horizont.

Ovde ipak treba biti oprezan sa biciklom. Dugo se tvrdilo da bicikl stoji zbog žiroskopskog dejstva točkova, ali su ogledi sa biciklima kod kojih je to dejstvo poništeno pokazali da i oni mogu da stoje. Doprinos postoji, ali glavni razlog je geometrija upravljanja — kad se bicikl nagne, prednji točak se sam zaokrene u istu stranu i vrati ga pod telo.

Zamajac

Praktična primena koja je oblikovala celu industrijsku revoluciju.

Parna mašina daje snagu u trzajima — klip gura samo u jednom delu hoda. Bez nečega što izglađuje, mašina bi radila skokovito i ne bi mogla da pokreće alat.

Rešenje je težak točak velikog momenta inercije na osovini. On prima energiju kad je ima u izobilju i vraća je kad je nema, jer se opire promeni ugaone brzine.

Zamajac je, dakle, skladište energije. I to se koristi i danas — postoje postrojenja koja višak električne energije skladište vrteći teške diskove u vakuumu, na magnetnim ležajevima.

Šta je ovo promenilo

Prvo: mehanika je pokrila i obrtanje, čime je postala potpuna. Svako kretanje krutog tela može se razložiti na kretanje njegovog težišta i obrtanje oko težišta — i za oba imamo zakone.

Drugo: pokazalo se da isti matematički oblik opisuje različite pojave. To je uvid koji se u fizici stalno vraća, i koji smo videli i kod Tomsona u serijalu o elektrotehnici, kad je toplotu i elektricitet opisao istim jednačinama.

Treće: dobili smo treći i poslednji veliki zakon održanja u mehanici. Sa Neterinom teoremom iz osmog dela, sva tri su posledice simetrija prostora i vremena — a održanje momenta impulsa dolazi iz toga što su zakoni isti u svim pravcima.

Ostaje još jedna stvar koju smo koristili bez izvođenja, i to više puta.

U desetom delu smo, računajući Mesec, uzeli izraz za ubrzanje pri kružnom kretanju kao dat. Vreme je da vidimo odakle dolazi — i da razjasnimo najčešću zabludu u celoj mehanici, onu o sili koja te izbacuje u krivini.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.