Sila, masa, ubrzanje: dve mase koje su ista stvar

Istorija mehanike

Deo 7 · Šta je zapravo masa

Reč koju svi koriste

U drugom Njutnovom zakonu stoji veličina m, i mi je zovemo masom. U svakodnevnom govoru se meša sa težinom, u prodavnici se meri vagom, i deluje kao nešto o čemu nema šta da se kaže.

Ovaj tekst je o tome zašto ima.

Njutn je masu definisao kao količinu materije, izraženu preko gustine i zapremine. Ta definicija je kružna i on je toga verovatno bio svestan — jer šta je gustina nego masa po zapremini. Pravo značenje mase ne dolazi iz definicije nego iz toga kako se ona ponaša.

A ponaša se na dva potpuno različita načina, i to je zagonetka.

Prva masa: opiranje

U izrazu F = ma, masa kazuje koliko se telo opire promeni kretanja. Za istu silu, veća masa daje manje ubrzanje.

Ta uloga se zove inerciona masa i meri se ovako: deluj poznatom silom, izmeri ubrzanje, podeli.

m_i = F/a

Bitno je uočiti da u tom merenju gravitacija ne učestvuje uopšte. Isto merenje bi dalo isti rezultat u praznom prostoru, daleko od svake planete. Sanduk koji gurate u bestežinskom stanju i dalje se opire — nema težinu, ali ima masu.

Otud i saveti koje svako zna iz iskustva: tešku stvar je teško pokrenuti, i još teže zaustaviti. Kamion koji ide trideset na sat zaustavlja se mnogo teže od bicikla iste brzine, i to nema veze sa tim koliko ih Zemlja privlači.

Druga masa: privlačenje

U zakonu gravitacije, koji ćemo izvesti u devetom delu, pojavljuje se veličina koja kazuje koliko telo privlači druga tela i koliko biva privučeno.

Ta uloga se zove gravitaciona masa i meri se sasvim drugačije — vagom, poređenjem sa etalonom.

Sad obrati pažnju na to koliko su te dve stvari različite po prirodi.

• Inerciona masa je otpor. Osobina koju telo pokazuje kad ga guraš.
• Gravitaciona masa je naboj. Osobina zbog koje telo učestvuje u jednoj određenoj sili.

Uporedi sa elektricitetom, iz drugog serijala. Naelektrisano telo ima naelektrisanje q, koje kazuje koliko jako učestvuje u električnoj sili, i masu m, koja kazuje koliko se opire ubrzanju. To su dve nezavisne veličine — telo može imati veliku masu i malo naelektrisanje, ili obrnuto.

Kod gravitacije bi trebalo da bude isto: „gravitacioni naboj" i masa bi trebalo da budu nezavisni.

A nisu. Uvek su jednaki.

Odatle sledi zašto sva tela padaju isto

Izvedimo to, jer je izvođenje kratko i objašnjava celu treću glavu ovog serijala.

Neka telo pada. Sila koja na njega deluje srazmerna je njegovoj gravitacionoj masi:

1. F = m_g · G_polje   — sila teže; drugi činilac zavisi samo od planete i mesta, ne od tela
2. F = m_i · a   — drugi Njutnov zakon
3. m_i · a = m_g · G_polje   — izjednačimo
4. a = (m_g/m_i) · G_polje   — rešimo po ubrzanju

Sada pogledaj šta je dobijeno. Ubrzanje zavisi od odnosa dveju masa. Ako je taj odnos isti za sva tela, onda sva tela padaju istim ubrzanjem — bez obzira na to koliko su teška ili od čega su.

A ako su dve mase jednake, odnos je jedan i ostaje:

a = g

ZAPAMTI OVO

Teže telo je jače privučeno — ali se u tačno istoj meri jače opire. Dva efekta se ponište i ostaje isto ubrzanje.

To je pravi odgovor na Galilejevo pitanje iz trećeg dela. On je izmerio da je tako; Njutnov aparat pokazuje zašto — uz pretpostavku da su dve mase jednake, koju ni Njutn nije umeo da objasni.

Koliko tačno su jednake

Njutn je bio svestan da je to pretpostavka i da je treba proveriti. Proveravao ju je klatnima: napravio je klatna jednake dužine sa kuglicama od različitih materijala — zlata, srebra, olova, stakla, peska, soli, drveta, vode, pšenice — i merio da li imaju isti period.

Setimo se iz četvrtog dela da period klatna ne zavisi od mase. Ali to važi samo ako su dve mase jednake; da nisu, u obrazac bi ušao njihov odnos i period bi zavisio od materijala.

Njutn nije našao razliku, i procenio je da su mase jednake sa tačnošću od oko jednog prema hiljadu.

Kasnija merenja su tu granicu pomerala:

• Etveš, mađarski fizičar, oko 1890. torzionom vagom — tačnost oko 10⁻⁹
• Dike i saradnici, 1960-e — oko 10⁻¹¹
• MICROSCOPE, francuski satelit, rezultati 2022 — oko 10⁻¹⁵

Do te tačnosti, nikakve razlike nema.

Šta iz toga sledi

Kad se u fizici pokaže da su dve naizgled nezavisne stvari uvek jednake, to obično znači da nisu dve stvari.

Njutnov sistem tu jednakost prihvata kao činjenicu i ne objašnjava je. U njemu je to srećna slučajnost.

Ajnštajn je 1907. shvatio šta ona zapravo znači, i to je nazvao najsrećnijom mišlju svog života. Rasuđivanje je ovakvo:

Zamisli čoveka u zatvorenoj kabini, bez prozora. Pusti predmet iz ruke — padne na pod sa ubrzanjem 9,81 m/s². Zaključak: kabina stoji na Zemlji.

Ali postoji i druga mogućnost. Kabina je u praznom prostoru, daleko od svega, i neko je vuče naviše ubrzanjem 9,81 m/s². Predmet pušten iz ruke nastavlja pravo po inerciji, a pod mu dolazi u susret — i za čoveka unutra to izgleda potpuno isto.

Nijednim ogledom unutar kabine ne može se razlučiti šta je od to dvoje. Gravitacija i ubrzanje daju iste pojave.

To je princip ekvivalencije, i iz njega je izrasla opšta teorija relativnosti — u kojoj gravitacija uopšte nije sila, nego zakrivljenost prostora i vremena, a telo koje pada zapravo ne oseća nikakvu silu nego se slobodno kreće.

Zato astronaut u orbiti lebdi. Nije van dometa Zemljine teže — na tri stotine kilometara visine ona je i dalje oko devedeset posto one na tlu. On lebdi zato što pada, zajedno sa stanicom, i pri padanju se ne oseća ništa.

Masa i težina

Pošto smo tu, vredi razrešiti zabunu koja se najviše ponavlja.

Masa je svojstvo tela. Meri se u kilogramima i ne menja se ako telo premestiš.

Težina je sila kojom planeta privlači telo. Meri se u njutnima i menja se sa mestom.

G = m · g

• G — težina [njutn, N]
• m — masa [kilogram, kg]
• g — ubrzanje zemljine teže, na našim širinama oko 9,81 [m/s²]

Čovek od 80 kg ima težinu od oko 785 N na Zemlji, oko 130 N na Mesecu, i nula u slobodnom padu. Masa mu je svuda 80 kg.

Kućna vaga zapravo meri silu kojom stojiš na njoj, dakle težinu, pa je podeli sa g i pokaže kilograme. Na Mesecu bi ista vaga pokazala oko 13 kg — ne zato što si smršao, nego zato što računa sa pogrešnim g.

Kako se sile sabiraju

Poslednja stvar koju drugi zakon zahteva, a koja se lako previdi: F u njemu nije bilo koja sila nego zbir svih sila koje na telo deluju.

A sile su vektori i sabiraju se kao vektori — po pravilu paralelograma, ne prostim sabiranjem brojeva. Za dve sile pod pravim uglom:

F = √(F₁² + F₂²)

Otud i najčešća greška u zadacima: telo koje miruje ne mora biti telo bez sila. Knjiga na stolu ima težinu naniže i otpor stola naviše; obe postoje, zbir im je nula, pa nema ubrzanja.

Vredi primetiti da to nije par dejstvo–protivdejstvo iz prethodnog teksta. Te dve sile deluju na istu knjigu, pa se poništavaju. Protivsila težini je privlačenje kojim knjiga deluje na Zemlju, a protivsila otporu stola je pritisak knjige na sto.

Šta je ovo promenilo

Prvo: masa je postala merljiva veličina sa dva nezavisna načina merenja, i time proverljiva.

Drugo: objašnjeno je zašto sva tela padaju isto — pojava koju je Galilej izmerio a nije umeo da izvede.

Treće: otvorena je pukotina koju Njutnov sistem ne može da zatvori. Jednakost dveju masa u njemu nema objašnjenje, i to je jedno od mesta gde se dva veka kasnije njutnovska fizika prelama.

Ali za sada nastavljamo unutar njegovog sistema, jer u njemu ima još da se izvuče.

Drugi zakon govori o jednom telu i silama na njega. A šta ako se dva tela sudare? Tada svako deluje na drugo, sile su po trećem zakonu jednake i suprotne, i traju isto vreme.

Ako se to razradi, dobija se nešto što se ni pri kakvom sudaru ne menja — veličina koju je Buridan nazreo pod imenom impetus, a koja se ne troši nego samo preraspoređuje.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.