Vektorska analiza: alat za polje
Istorija elektrotehnike
Deo 19 · Alat za poslednji korak
Zašto nam sada treba nova matematika
Do sada nam je bilo dovoljno ono što se uči u srednjoj školi. Sve što smo računali svodilo se na jednu veličinu u jednoj tački: sila između dva naelektrisanja, struja kroz žicu, napon na otporniku.
Ali od Faradeja imamo polje. A polje nije jedan broj — ono ima vrednost u svakoj tački prostora, i ta vrednost ima pravac. Da bismo o njemu pisali jednačine, treba nam način da opišemo kako se takva stvar menja od tačke do tačke.
Taj alat se zove vektorska analiza. Uvodim ga ovde jer je upravo sada postao neophodan — tačno kao što se istorijski i desilo.
Uz to, jedno upozorenje: Maksvel sam ovaj zapis nije koristio. On je 1865. napisao dvadeset jednačinu sa dvadeset promenljivih, u komponentama. Oblik u kome ih danas učimo — četiri jednačine sa operatorom ∇ — dao je Oliver Hevisajd dvadesetak godina kasnije. O tome ćemo u sledećem tekstu.
Skalarno i vektorsko polje
Dve vrste polja, i razlika je jednostavna.
Skalarno polje pridružuje svakoj tački prostora jedan broj. Primer: temperatura u sobi. U svakoj tački postoji temperatura, i to je samo broj — nema smisla pitati u kom je pravcu okrenuta. Električni potencijal iz sedamnaestog dela je takođe skalarno polje.
Vektorsko polje pridružuje svakoj tački vektor — veličinu i pravac. Primer: brzina vode u reci. U svakoj tački voda ima brzinu i teče u nekom pravcu. Električno polje E i magnetno polje B su vektorska polja.
Podsetimo se dogovora iz uvoda serijala: vektore pišemo podebljano (E), skalare kurzivom (V).
Parcijalni izvod
Obični izvod, koji već znaš, kazuje koliko se brzo neka veličina menja kad se promeni jedna druga.
Ali u prostoru imamo tri pravca. Temperatura u sobi se može menjati različito ako se pomeriš levo-desno, napred-nazad ili gore-dole.
Parcijalni izvod je izvod po jednoj promenljivoj, dok se ostale drže nepromenjenim. Piše se sa ∂ umesto d:
Čita se: koliko se menja temperatura ako se pomerimo duž ose x, a y i z ostave na miru. Sam račun je isti kao kod običnog izvoda — druge promenljive se tretiraju kao konstante.
Primer: neka je T = 3x2y + 5z. Onda je ∂T/∂x = 6xy, jer se y ponaša kao broj, a član 5z nestaje kao svaka konstanta.
Operator nabla
Uvodimo oznaku koja objedinjuje sva tri parcijalna izvoda:
Simbol se zove nabla, po grčkoj harfi trouglastog oblika. Naziv je predložio upravo jedan Maksvelov prijatelj.
Nabla nije broj i nije vektor u pravom smislu — to je operator, uputstvo šta da se uradi sa onim što stoji desno od njega. Ali se ponaša kao vektor, i to je razlog zašto je ovaj zapis toliko moćan: sve što znaš o množenju vektora prenosi se ovde.
Sa vektorom se može uraditi troje, i otud tri operacije koje slede.
Gradijent
Nabla primenjena na skalarno polje:
Rezultat je vektor. Skalarno polje ušlo, vektorsko izašlo.
Šta znači: gradijent u nekoj tački pokazuje u pravcu najbržeg porasta, a njegova dužina kazuje koliko je taj porast strm.
Slika: stojiš na brdu. Skalarno polje je nadmorska visina. Gradijent u tvojoj tački pokazuje pravac najstrmijeg uspona, a dužina mu je nagib. Na ravnom je nula.
Gde nam treba: u sedamnaestom delu smo rekli da se polje dobija iz potencijala kao mera koliko se potencijal naglo menja sa mestom. Sada to možemo napisati tačno:
Znak minus je zato što polje pokazuje ka opadanju potencijala — pozitivno naelektrisanje se kreće nizbrdo, kao što se kamen kotrlja niz padinu.
Divergencija
Skalarni proizvod nable sa vektorskim poljem:
Rezultat je skalar, običan broj. Vektorsko polje ušlo, skalarno izašlo.
Šta znači: divergencija u nekoj tački kazuje koliko iz te tačke polje izvire ili u nju ponire.
Slika: vektorsko polje je strujanje vode. Zamisli sitnu kutijicu oko posmatrane tačke i pitaj koliko vode uđe, a koliko izađe.
- Izađe više nego što uđe → divergencija pozitivna → u toj tački je izvor, kao slavina.
- Uđe više nego što izađe → divergencija negativna → tu je ponor, kao odvod.
- Uđe koliko i izađe → divergencija nula → voda samo protiče.
Gde nam treba: ovim se odgovara na pitanje odakle silnice počinju. Kod električnog polja one izviru iz pozitivnog naelektrisanja i poniru u negativno — dakle divergencija nije nula tamo gde ima naelektrisanja. Kod magnetnog polja silnice su, kako smo videli kod Ersteda, zatvorene krivulje — nigde ne počinju i nigde se ne završavaju, pa je divergencija svuda nula.
To su, unapred rečeno, prve dve Maksvelove jednačine.
Rotor
Vektorski proizvod nable sa vektorskim poljem:
Rezultat je vektor. Raspisan po komponentama, on izgleda ovako — x-komponenta:
Ostale dve se dobijaju cikličnom zamenom, dakle x→y→z→x. Zapis je nezgrapan i zato ga u praksi ne raspisujemo — dovoljno je razumeti šta znači.
Šta znači: rotor kazuje koliko se polje u nekoj tački uvrće oko nje.
Slika: postavi sitnu vodenicu sa lopaticama u strujanje vode. Ako se okreće — rotor nije nula. Pravac vektora rotora je osa oko koje se vodenica vrti, a dužina kazuje koliko brzo.
Pažnja, ovde se lako pogreši: rotor nije isto što i zakrivljenost putanje. Voda može teći pravolinijski, ali ako je brža na jednoj strani nego na drugoj, vodenica će se okretati i rotor postoji. Obratno, voda može kružiti a rotor da bude nula, ako brzina opada baš na pravi način.
Gde nam treba: ovim opisujemo polja koja se sama u sebe zatvaraju. Magnetno polje oko žice iz desetog dela je čist primer — ono kruži oko provodnika, pa mu je rotor u tačkama gde ima struje različit od nule. A po Faradeju, i električno polje ume da bude takvo: promenljivo magnetno polje stvara električno polje koje se zatvara u petlju.
To su druge dve Maksvelove jednačine.
ZAPAMTI OVO
Tri operacije, i najkraći način da se razlikuju:
- gradijent ∇V — skalar u vektor — kuda je najstrmije
- divergencija ∇ · E — vektor u skalar — koliko odavde izvire
- rotor ∇ × E — vektor u vektor — koliko se ovde uvrće
Divergencija odgovara na pitanje gde polje počinje, rotor na pitanje gde se polje zatvara u krug. Elektrostatičko polje ima divergenciju a nema rotor; magnetno polje ima rotor a nema divergenciju. U toj asimetriji je cela suština.
Dve teoreme koje povezuju lokalno i celo
Divergencija i rotor opisuju šta se dešava u jednoj tački. Ali mi merimo stvari na velikom — koliko polja prolazi kroz površinu, koliki je napon duž petlje.
Dve teoreme povezuju to dvoje, i zbog njih Maksvelove jednačine postoje u dva oblika.
Teorema o divergenciji (Gaus-Ostrogradski): ukupan tok polja kroz zatvorenu površinu jednak je zbiru svih izvora unutar nje.
Rečeno slikovito: koliko vode isteče kroz omotač neke oblasti, toliko su joj slavine unutra i dale.
Stoksova teorema: zbir doprinosa polja duž zatvorene krive jednak je ukupnom uvrtanju kroz površinu koju ta kriva ograničava.
Rečeno slikovito: koliko te struja zanese dok obiđeš obalu jezera, toliko se vrtloga nalazi u samom jezeru.
Zbog ove dve teoreme svaka Maksvelova jednačina ima diferencijalni oblik, koji govori o jednoj tački, i integralni oblik, koji govori o oblasti. Oba kazuju istu stvar.
Dva znaka integrala
Poslednja oznaka koja će nam trebati.
Znak ∫ već znaš — on označava sabiranje beskonačno mnogo beskonačno malih doprinosa.
Znak ∮ je isto to, ali po zatvorenoj putanji ili površini — takvoj koja se vraća u polaznu tačku, ili koja obavija oblast sa svih strana. Krug na integralu znači samo to.
Videćemo ga u integralnom obliku jednačina.
Kako ovo čitati
Poslednja napomena pre nego što nastavimo.
Ako ti je ovaj tekst delovao apstraktno, to je u redu i ne treba ga savladati do kraja da bi sledeći imao smisla. Za čitanje Maksvelovih jednačina dovoljno je zapamtiti tri rečenice:
- ∇ · nešto pita: izvire li polje odavde?
- ∇ × nešto pita: vrti li se polje ovde u krug?
- ∂/∂t pita: menja li se to sa vremenom?
Sve četiri jednačine su rečenice sastavljene od ta tri pitanja.
A sada nam treba čovek koji je te rečenice napisao — Škot koji je Faradejeve slike preveo u matematiku i pri tome, popravljajući jednu očiglednu nedoslednost, otkrio da elektromagnetni poremećaj mora da putuje, i to tačno onom brzinom koju su Veber i Kolrauš izmerili ne znajući šta mere.
Comments
Post a Comment