Aristarh — prvo merenje svemira
Do sada su sva pitanja u ovoj priči bila o uglovima i vremenima. Gde je nešto na nebu, kada se vraća, koliko traje ciklus. Nijedno nije bilo o daljini. Nebo je bilo raspored — poredak tačaka na sferi — a ne prostor sa dimenzijama.
Razlog je jednostavan: nije bilo nikakvog načina da se do daljine dođe. Ne možeš otići do Meseca sa uzicom. Ne možeš ga uporediti sa nečim poznatim, jer nema ničeg poznatog u blizini. Sve što imaš je tačka svetlosti i uverenje da je daleko.
Aristarh sa Samosa (oko 310–230. p. n. e.) prvi je pokazao da je i to dovoljno. Njegov spis O veličinama i rastojanjima Sunca i Meseca (Peri megethōn kai apostēmatōn hēliou kai selēnēs) sačuvan je u celini i predstavlja najstariji sačuvani tekst u kome je neko iz posmatranja izračunao razmere sveta.
Rezultati su mu pogrešni. Postupak je besprekoran. To je jedna od najpoučnijih kombinacija u istoriji nauke.
Šta je već bilo poznato
Aristarh je nasledio tri stvari, sve tri iz prethodnih delova ovog serijala.
Prvo, Zemlja je lopta — utvrđeno Aristotelovim dokazima. Drugo, Mesec svetli odbijenom Sunčevom svetlošću — Anaksagorin uvid, iz koga slede i mene i pomračenja. Treće, i to je ključno, pomračenje Meseca je Zemljina senka, dakle senka Zemlje je nešto što se može posmatrati i izmeriti.
Sve tri su mu potrebne. Bez druge nema geometrije polumeseca; bez treće nema veličine Meseca.
Treba odmah reći i šta nije imao. Nije imao trigonometriju — ni sinus, ni kosinus, ni tablicu tetiva; ništa od toga u to vreme ne postoji i nastaće tek jedan i po vek kasnije, kod Hiparha. Nije imao decimalni zapis ni pojam broja koji nije odnos. Nije imao teleskop ni bilo kakav instrument za merenje uglova finiji od podeljenog kruga sa nišanom.
Zato ceo njegov spis radi sa odnosima i sa nejednakostima: ne kaže „ugao je toliki pa je odnos toliki", nego dokazuje da je traženi odnos veći od jednog broja a manji od drugog. To je jedini alat koji je postojao i Aristarh ga koristi savršeno.
Prva zamisao: trenutak polumeseca
Aristarhova prva ideja je izuzetno lepa i traži samo jedno posmatranje.
Mesec je lopta osvetljena sa jedne strane. Granica između osvetljene i tamne polovine je krug. Kad tu granicu vidimo kao pravu liniju, to znači da gledamo tačno duž ravni tog kruga — a to se dešava samo u jednom položaju: kada je ugao kod Meseca, između pravca ka Zemlji i pravca ka Suncu, tačno prav.
Dakle: u trenutku kada je Mesec tačno polovina, trougao Sunce–Mesec–Zemlja ima prav ugao kod Meseca.
Sada je dovoljno izmeriti jedan preostali ugao — onaj kod Zemlje, između pravca ka Mesecu i pravca ka Suncu — i trougao je potpuno određen po obliku. A ako znaš oblik trougla, znaš i odnos njegovih stranica, dakle odnos rastojanja do Sunca i do Meseca.
To je merenje koje se u načelu izvodi jednim uglomerom, u sumrak kada se i Mesec i Sunce vide.
Aristarh je izmerio da je taj ugao manji od pravog za jednu tridesetinu pravog ugla. Pošto prav ugao ima 90 stepeni, to je 3 stepena, pa je ugao 87 stepeni. Napomena: sam Aristarh ne piše „87 stepeni" — podela kruga na 360 delova u grčkoj matematici tog vremena još nije bila u opštoj upotrebi, pa on ugao izražava kao deo pravog ugla. Prevod u stepene je naš.
Matematika: odnos rastojanja
Označimo:
- dM — rastojanje Zemlja–Mesec
- dS — rastojanje Zemlja–Sunce
- α — ugao kod Zemlje između pravca ka Mesecu i pravca ka Suncu, u trenutku polumeseca
Trougao je pravougli, sa pravim uglom kod Meseca. Stranica Zemlja–Mesec je nalegla kateta, stranica Zemlja–Sunce je hipotenuza. Dakle:
i otuda
Ovaj zapis Aristarhu nije bio dostupan. Kosinus kao funkcija ne postoji, tablica vrednosti ne postoji, znak jednakosti u ovom obliku ne postoji. Aristarh je isti rezultat dobio čisto geometrijski, poređenjem lukova i tetiva u krugu, i zato je morao da se zadovolji ograđivanjem sa dve strane. Njegov dokaz glasi da je odnos veći od 18 a manji od 20. Pišem savremeni zapis samo zato što je kraći; račun koji sledi je naš, ne njegov.
Uvrstimo njegovu izmerenu vrednost:
Aristarhovo ograđivanje između 18 i 20 obuhvata upravo ovaj broj. Njegova geometrija je tačna.
Zašto je rezultat promašen dvadeset puta
Stvarni ugao u trenutku polumeseca iznosi oko 89,85 stepeni. Uvrstimo ga:
Sunce je, dakle, oko 390 puta dalje od Meseca, a ne 19 puta. Aristarh je promašio dvadesetostruko.
Ali pogledajmo gde je promašio. Greška u uglu iznosi manje od tri stepena. Greška u rezultatu iznosi dvadeset puta.
Razlog je u ponašanju kosinusa blizu pravog ugla. Tamo je kosinus vrlo mali, a mala promena ugla menja ga udelu ogromno: kosinus od 87 stepeni je dvadeset puta veći od kosinusa od 89,85 stepeni, iako se uglovi razlikuju za manje od tri stepena. Pošto se u rezultatu pojavljuje prevrnuta vrednost kosinusa, ta razlika se prenosi cela.
Ovo je prvi susret sa pojavom koja se u fizici i tehnici stalno vraća: postoje merenja u kojima se greška ne prenosi u rezultat u istom udelu, nego uvećana. Aristarhov postupak je tačno takav. Da bi dobio odnos sa greškom od jedan odsto, morao bi ugao da izmeri sa greškom manjom od jedne stotinke stepena. To je izvan domašaja svakog instrumenta koji je postojao pre sedamnaestog veka.
Postoji i druga, praktična teškoća. Trenutak polumeseca se ne može tačno uhvatiti. Granica svetla i senke na Mesecu nije oštra linija, jer je površina neravna; osim toga, Mesec je u tom trenutku na dnevnom nebu ili blizu horizonta. Greška od nekoliko sati u proceni trenutka daje grešku od skoro celog stepena u uglu. Zadatak je, po samoj svojoj prirodi, nerešiv sa golim okom.
Druga zamisao: senka Zemlje
Drugi Aristarhov postupak je bolji, jer ne zavisi od ugla koji se teško meri, nego od nečega što se posmatra strpljivo i pouzdano.
Tokom pomračenja Meseca, Mesec ulazi u Zemljinu senku. Ako se meri vreme — koliko traje ulazak Mesečevog ruba u senku, a koliko boravak u senci — može se proceniti koliko je senka široka izražena u Mesečevim prečnicima. Aristarh je uzeo da je senka na tom mestu dva puta šira od Meseca.
Potrebna je i jedna činjenica koju je svako mogao da proveri i koja je bila opšte poznata: Sunce i Mesec na nebu izgledaju jednako veliki. To je razlog zbog kog je potpuno pomračenje Sunca uopšte moguće — Mesec Sunce pokrije skoro tačno.
Sada sledi izvođenje. Označimo:
- E — prečnik Zemlje
- M — prečnik Meseca
- S — širina Zemljine senke na rastojanju Meseca
Korak 1. Sunce je veće od Zemlje, pa Zemljina senka nije valjak nego kupa koja se sužava. Da je Sunce beskonačno daleko, senka bi bila valjak širine E. Ovako je uža.
Korak 2. Za koliko se suzi? Rub senke se udaljava od ose pod uglom koji je jednak ugaonom poluprečniku Sunca gledanog sa Zemlje. Dakle, na rastojanju Meseca senka se suzila za onoliko koliko na tom rastojanju iznosi ugaoni prečnik Sunca, izražen u dužini.
Korak 3. Ali Sunce i Mesec imaju isti ugaoni prečnik. Dakle, iznos za koji se senka suzila na rastojanju Meseca jednak je upravo prečniku Meseca:
Korak 4. Uvrstimo Aristarhovo posmatranje S = 2M:
Mesec je, dakle, oko tri puta manji od Zemlje. Savremena vrednost je 0,273, dakle nešto malo manje od tri i po puta. Ovaj Aristarhov rezultat je zaista dobar — greška je oko dvadeset odsto, što je za merenje bez ijednog instrumenta izvanredno.
Napomena: Aristarhovo izvođenje u samom spisu je znatno komplikovanije od ovog, jer on istovremeno vodi računa i o odnosu rastojanja i radi sa nejednakostima. Prikazani oblik je uprošćen radi jasnoće; rezultat je isti.
Treća zamisao: veličina Sunca
Sada se dva rezultata spajaju.
Korak 1. Sunce i Mesec izgledaju jednako veliki. Dva tela koja pod istim uglom izgledaju jednako imaju prečnike u istom odnosu kao rastojanja:
- DS — prečnik Sunca
Korak 2. Uvrstimo Aristarhov odnos rastojanja, 19:
Korak 3. A Mesec je trećina Zemlje:
Aristarh u spisu dobija vrednost između 6 i 7, tačnije oko 6¾, uz nešto drugačije brojeve na ulazu. Savremena vrednost je 109. Promašaj je, opet, posledica pogrešnog odnosa rastojanja iz prve zamisli — svaka greška odatle prenosi se ovamo.
Aristarh je merio odnose, ne dužine. Njegovi rezultati kažu koliko je Sunce puta dalje od Meseca i koliko je puta veće od Zemlje — ali nijedan ne daje stvarnu daljinu, jer nijedna dužina nije bila poznata. Sve je izraženo preko prečnika Zemlje, koji tada niko nije znao.
Rezultati: Sunce oko 19 puta dalje od Meseca (stvarno oko 390); Mesec oko 3 puta manji od Zemlje (stvarno 3,7); Sunce oko 6,3 puta veće od Zemlje (stvarno 109).
Postupak je ispravan u sva tri slučaja. Greške dolaze isključivo iz merenja uglova i vremena, ne iz geometrije.
Nedosledna sitnica koja odaje autora
U samom spisu Aristarh uzima da je ugaoni prečnik Meseca dva stepena — što je četiri puta previše, jer stvarna vrednost iznosi oko pola stepena. Iznenađujuće je da bi to primetio i neupućen posmatrač; Mesec se lako uporedi sa poznatim uglovima.
Zanimljivo je da nam Arhimed, u spisu Merač peska, izričito javlja da je Aristarh drugom prilikom našao vrednost od pola stepena — dakle tačnu. Zašto je onda u spisu upotrebio pogrešnu?
Najverovatnije objašnjenje je da spis nije zamišljen kao izveštaj o merenju nego kao vežba iz metoda. Aristarh pokazuje kako se iz zadatih pretpostavki izvodi rezultat; brojevi na ulazu su okrugli i pogodni za dokaz, a ne najbolji koje ima. To je uobičajena praksa u grčkoj matematici i ne treba je čitati kao nemar.
Sunce u središtu
Aristarh je najpoznatiji po nečemu što se u sačuvanom spisu uopšte ne pominje.
O tome znamo iz jednog jedinog pouzdanog izvora — pomenutog Arhimedovog Merača peska, napisanog nekoliko decenija kasnije. Arhimed tamo, pripremajući sopstveni račun o broju zrna peska koja bi stala u svemir, navodi da je Aristarh izneo pretpostavku da nepokretne zvezde i Sunce miruju, da se Zemlja kreće oko Sunca po krugu, a da su zvezde neizmerno daleko.
Arhimed to pominje usput, bez oduševljenja, kao zamisao koja mu je zgodna zato što daje veliki svemir. Aristarhov spis u kome je to izloženo izgubljen je.
Zašto bi Aristarh na to pomislio? Postoji uverljivo objašnjenje, ali ga treba označiti kao pretpostavku istoričara, ne kao posvedočenu činjenicu. Aristarh je upravo bio izračunao da je Sunce znatno veće od Zemlje — po njegovom broju, oko šest puta po prečniku, dakle preko dvesta puta po zapremini. Nezgodno je da ogromno telo kruži oko malog. Ako se nešto vrti, prirodnije je da se manje vrti oko većeg.
Ako je to zaista bio put razmišljanja, onda je Aristarh došao do ispravnog zaključka iz broja koji je bio pogrešan skoro dvadeset puta. Sunce je zaista veće od Zemlje, i to mnogo više nego što je on mislio — pa je zaključak time samo jači.
Njegov predlog nije prihvaćen. Razlozi su bili ozbiljni i vredi ih navesti pošteno, jer se lako pomisli da je otpor bio puka tvrdoglavost.
- Nema paralakse. Ako Zemlja putuje oko Sunca, onda je u julu na jednom kraju velike putanje, a u januaru na suprotnom. Bliže zvezde bi se tada morale pomerati u odnosu na dalje. Ništa takvo se ne vidi. Aristarh je na to odgovorio da su zvezde toliko daleko da je pomeranje neprimetno — što je tačno, ali je tražilo svemir nezamislivo veći od svega što je iko pretpostavljao, i zvučalo je kao izgovor. Pomeranje će biti izmereno tek 1838. godine i time ćemo završiti drugi deo ovog serijala.
- Fizika je govorila suprotno. Po Aristotelovoj teoriji prirodnih mesta, iz prethodnog dela, teška tela idu ka središtu sveta. Ako Zemlja nije u središtu, zašto sve pada ka njoj? Ta primedba nije glupa — na nju nema odgovora sve dok se ne pojavi pojam privlačenja između tela, dakle do sedamnaestog veka.
- Nema mehaničkog dokaza kretanja. Ako se Zemlja okreće i juri kroz prostor, zašto se to ne oseti, zašto vetar ne duva stalno sa jedne strane, zašto bačen kamen pada tamo gde je bačen? Odgovor traži pojam inercije, koji takođe ne postoji.
Plutarh, u spisu O licu na Mesečevom kolutu, navodi da je stoički filozof Kleant tražio da se Aristarh optuži za bezbožništvo zato što je „pokrenuo ognjište sveta". Do suđenja, koliko znamo, nije došlo. Priča se često prepričava kao dokaz da je nauka bila progonjena; ostaje činjenica da je predlog odbačen prvenstveno zato što nije davao bolja predviđanja od postojećih modela, a tražio je da se odbaci celokupna zatečena fizika.
Šta je ovo promenilo
Aristarhov najveći doprinos nije nijedan od njegovih brojeva. To je dokaz da se veličine u svemiru mogu izračunati.
Pre njega, pitanje „koliko je Sunce daleko" nije bilo pogrešno odgovoreno — bilo je smatrano besmislenim. Posle njega, ono je postalo tehnički zadatak sa poznatim postupkom: nađi trougao u kome je jedno teme na Zemlji, izmeri šta možeš, izvedi ostalo. Ceo dalji razvoj astronomije, sve do merenja rastojanja do galaksija, koristi taj isti obrazac.
Drugi doprinos je manje očigledan. Aristarh je pokazao da su nebeska tela veća od Zemlje. Čak i sa njegovim promašenim brojevima, Sunce je ispalo krupnije od sveta na kome stojimo. Svemir je time prvi put postao mesto u kome Zemlja nije najveća stvar.
Ostalo je, međutim, jedno ograničenje koje njegov metod nije mogao da pređe. Svi njegovi rezultati su odnosi. Sunce je toliko puta dalje od Meseca; Mesec je toliki deo Zemlje; Sunce je toliko puta veće od Zemlje. Nijedan broj nije dužina. Cela slika sveta bila je izražena preko prečnika Zemlje — a koliki je prečnik Zemlje, niko nije znao.
Postupak za to bio je zapravo poznat, izveden još u prethodnom delu ovog serijala: obim se dobija iz pređenog puta i promene visine nebeskog pola. Trebalo je samo naći dva mesta na poznatom rastojanju i izmeriti ugao dovoljno pažljivo. Čovek koji je to uradio bio je upravnik najveće biblioteke na svetu, a instrument mu je bio uspravan štap i senka u podne.
Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.
Comments
Post a Comment