Eratosten meri Zemlju senkom u podne
Aristarh je ostavio svet izražen u odnosima. Sunce toliko puta dalje od Meseca, Mesec toliki deo Zemlje, Sunce toliko puta veće od Zemlje. Sve povezano, ništa izmereno. Cela slika visila je o jednom broju koji niko nije znao: koliki je prečnik Zemlje.
Postupak je, u načelu, bio poznat i izveden je još u četvrtom delu ovog serijala. Pomeriš se duž meridijana, izmeriš za koliko se promenila visina nebeskog pola, i iz odnosa pređenog puta i promene ugla dobiješ obim. Aristotel pominje da su „matematičari" dobili 400 000 stadija, ali ne kaže ni ko, ni kako, ni sa kojim podacima. Vrednost je, koliko možemo da sudimo, bila otprilike dvostruko prevelika.
Ono što je nedostajalo bilo je vrlo prizemno: dva mesta na poznatom rastojanju i ugao izmeren pažljivo. Za to su bili potrebni podaci koje pojedinac ne može da prikupi — putni razmaci kroz celu jednu zemlju. Takvi podaci postojali su na tačno jednom mestu na svetu.
Čovek u biblioteci
Eratosten iz Kirene (oko 276–194. p. n. e.) postao je oko 245. godine p. n. e. treći upravnik Aleksandrijske biblioteke, na poziv Ptolemeja III. Taj položaj je istovremeno značio i vaspitača prestolonaslednika.
Bio je matematičar, geograf, pesnik, filolog i hronolog. Njemu pripada sito za nalaženje prostih brojeva, koje se i danas uči pod njegovim imenom. Napisao je Geografiju u tri knjige — reč geographia je njegova — sa kartom poznatog sveta na mreži uporednika i podnevaka. Sastavio je hronologiju koja događaje smešta u godine računate od pada Troje. Izračunao je nagib ekliptike, o čemu će biti reči.
Savremenici su ga zvali Beta — drugo slovo — jer je, kako se govorilo, u svakoj oblasti bio drugi po redu, nigde prvi. Zvali su ga i Pentatlonac, po takmičaru u pet disciplina koji ni u jednoj nije šampion. Nadimak je bio zajedljiv i ispostavio se kao potpuno promašen: upravo je širina znanja bila ono što mu je omogućilo ovo merenje. Trebalo je istovremeno raspolagati podacima o putnim razmacima u Egiptu, poznavati geometriju sfere, i imati razlog da se to dvoje spoji.
Njegov spis O merenju Zemlje nije sačuvan. Sve što znamo o postupku dolazi iz jednog kasnijeg izvora — Kleomeda, pisca priručnika O kružnom kretanju nebeskih tela, koji je živeo negde između prvog veka p. n. e. i drugog veka n. e. Kleomed piše radi poučavanja, uprošćava, i sam kaže da brojeve zaokružuje. To treba imati na umu kad se govori o tačnosti rezultata.
Bunar u Sijeni
Polazna činjenica bila je poznata i pomalo čuvena. U gradu Sijeni, na gornjem Nilu — današnji Asuan — o letnjem solsticiju u podne uspravan štap ne baca senku, a Sunce se ogleda u vodi na dnu dubokog bunara. To znači da je Sunce tog trenutka tačno u zenitu, u tački neba iznad glave.
Zašto baš tamo? Zato što Sijena leži praktično na liniji koju danas zovemo severna povratnica ili Rakova obratnica — najsevernijoj geografskoj širini na kojoj Sunce ikad dospe u zenit. Ta linija je određena nagibom Zemljine ose, koji smo uveli u prvom delu: sve što je severnije od nje nikad ne vidi Sunce tačno iznad glave.
U Aleksandriji, znatno severnije, Sunce u istom trenutku nije u zenitu i uspravan štap baca senku. Eratosten je izmerio ugao te senke, odnosno ugao za koji je Sunce odstupilo od zenita, i dobio da iznosi pedeseti deo punog kruga.
Kleomed kaže da je Eratosten koristio skafu (grč. skaphē) — polukružnu udubljenu posudu sa uspravnim šiljkom u središtu, na kojoj se dužina senke očitava kao luk, dakle neposredno kao ugao. To je pametno rešenje jer izbegava potrebu za bilo kakvim računom sa dužinama. Moguće je, međutim, da je Eratosten koristio običan gnomon — uspravan štap — i da je skafa Kleomedovo pojednostavljenje.
Fizika: šta se zapravo meri
Ceo postupak počiva na jednoj pretpostavci koja se lako previdi, a bez koje ništa ne radi: Sunčevi zraci koji stižu u Sijenu i oni koji stižu u Aleksandriju su međusobno uporedni.
To važi samo ako je Sunce mnogo dalje od razmaka između ta dva grada. Eratosten to uzima zdravo za gotovo. Nije bez osnova — Aristarhov račun, iz prethodnog dela, već je pokazao da je Sunce daleko i veliko, čak i sa promašenim brojevima. Ali vredi biti precizan: ovo merenje ne dokazuje da je Zemlja lopta. Ono to pretpostavlja.
Isto zapažanje — nema senke u Sijeni, ima je u Aleksandriji — savršeno se objašnjava i ravnom Zemljom sa bliskim Suncem. Ako je Sunce mala vatrena lopta na nekoliko hiljada stadija visine, zraci nisu uporedni, pa razlika u senci nastaje zbog toga, a ne zbog zakrivljenosti. Iz istih podataka tada bi se izračunala visina Sunca umesto obima Zemlje. Eratosten bira sfernu Zemlju i daleko Sunce zato što su ta dva zaključka već bila utvrđena drugim putevima — Aristotelovim dokazima i Aristarhovim merenjem. Merenje daje broj tek unutar slike sveta koja je već postavljena. To važi i za savremenu fiziku.
Matematika: izvođenje
Označimo:
- α — ugao senke u Aleksandriji u podne o solsticiju, u stepenima
- s — rastojanje Aleksandrija–Sijena duž meridijana, u stadijima
- O — obim Zemlje, u stadijima
Korak 1. U Sijeni je Sunce u zenitu, dakle zrak koji tamo pada produžava se kroz središte Zemlje.
Korak 2. U Aleksandriji zrak zaklapa ugao α sa uspravnim pravcem, dakle sa poluprečnikom Zemlje u toj tački.
Korak 3. Dva poluprečnika — jedan ka Sijeni, drugi ka Aleksandriji — presecaju dva uporedna zraka. Ugao između poluprečnika, gledan iz središta Zemlje, jednak je uglu α, kao uglovi sa uporednim kracima.
Ovo je čvor celog izvođenja: ugao izmeren na štapu u Aleksandriji jeste ugao koji ta dva grada zaklapaju gledana iz središta planete. Ugao koji se ne može dohvatiti očitan je iz senke.
Korak 4. Luk između dva grada odnosi se prema celom obimu kao njihov centralni ugao prema punom krugu:
Korak 5. Odatle:
Korak 6. Uvrstimo brojeve. Rastojanje Aleksandrija–Sijena uzeto je kao 5000 stadija, a ugao kao pedeseti deo kruga:
U izvorima se pojavljuje i vrednost 252 000 stadija. Razlog je verovatno praktičan: taj broj je deljiv sa 360, pa daje tačno okruglih 700 stadija po jednom stepenu — što je zgodno za izradu karata, čime se Eratosten upravo bavio. Popravka je, dakle, računovodstvena, ne merna.
Korak 7. Iz obima sledi prečnik:
Napomena: Arhimed je nekoliko decenija ranije dokazao da je π između 3 + 10/71 i 3 + 1/7, pa je i ovaj korak bio izvodljiv sa poznatom tačnošću.
Koliko je to u našim jedinicama
Ovde počinje poštena nevolja, i o njoj se u popularnim prikazima obično ćuti.
Ne znamo koliki je bio Eratostenov stadij. Stadij nije bila jedinstvena jedinica; različiti krajevi grčkog sveta koristili su različite vrednosti, u rasponu od otprilike 150 do 210 metara. Eratosten nigde nije zapisao koju koristi, ili bar to nije sačuvano.
Dve najčešće pretpostavke daju vrlo različite ishode:
Savremena vrednost obima Zemlje po meridijanu iznosi oko 40 008 km. Prva pretpostavka daje grešku od oko 16 odsto. Druga daje grešku od oko 1,6 odsto.
Rečenica koju svi znaju — „Eratosten je izmerio obim Zemlje sa greškom od jedan odsto" — počiva na izboru druge vrednosti stadija, a taj izbor nije nezavisno potvrđen. Pošteno je reći ovako: Eratosten je dobio vrednost koja je sigurno reda veličine tačne, verovatno unutar dvadeset odsto, a možda i mnogo bolja od toga. Sve preciznije tvrdnje su nagađanje o jedinici, ne o merenju.
Greške koje su se poništile
U ulaznim podacima ima nekoliko netačnosti i vredi ih navesti, jer pokazuju koliko je rezultat bio srećan.
Sijena nije na povratnici. Asuan leži oko 24°05′ severno, a povratnica je u to vreme bila na oko 23°43′. Razlika je oko trećine stepena — dovoljno da Sunce ipak baci malu senku, koja se okom teško primeti jer je Sunčev kolut i sam širok pola stepena. Ova pojava, da se blizu zenita senka gubi u polusenci, upravo je razlog zbog kog je priča o bunaru bila uverljiva.
Sijena i Aleksandrija nisu na istom podnevku. Razlika je oko tri stepena po dužini. Postupak zahteva da oba grada leže na istoj liniji sever–jug; ovako izmereni luk nije čist meridijanski luk.
Rastojanje od 5000 stadija je zaokruženo. Podatak potiče iz putnih evidencija — u ptolemejskom Egiptu postojali su bematisti (grč. bēmatistēs, od bēma, korak), službenici obučeni da razmake mere brojanjem ujednačenih koraka. Njihovi podaci su bili dobri, ali je 5000 očigledno okrugao broj, moguće i konvencionalna vrednost iz karata pre nego rezultat konkretnog puta.
Ugao od tačno 1/50 kruga je sumnjivo lep. Stvarna razlika geografskih širina iznosi oko 7,05 stepeni, dakle prilično blizu 7,2 — ali izbor baš pedesetog dela deluje kao zaokruživanje na pogodan razlomak.
Zbir tih grešaka je delom išao naviše, delom naniže, i one su se međusobno umanjile. To se u istoriji merenja dešava češće nego što bi se htelo, i razlog je zbog kog jedan tačan rezultat nikad nije dokaz da je postupak bio tačno izveden.
Nagib ekliptike
Eratosten je istim tipom posmatranja odredio i drugu važnu veličinu — nagib ekliptike, ugao između Sunčeve godišnje putanje i nebeskog ekvatora, koji je uzrok godišnjim dobima i o kome je bilo reči u prvom delu.
Postupak je jednostavan: izmeri se visina Sunca u podne o letnjem solsticiju i o zimskom. Razlika te dve visine jednaka je dvostrukom nagibu.
Eratosten je taj razmak izrazio kao 11/83 punog kruga:
Stvarna vrednost nagiba u to doba bila je oko 23°43′. Greška iznosi osam lučnih minuta — oko sedam stotinki stepena. Za merenje uglomernim krugom, bez ikakve optike, to je izuzetan rezultat i mnogo pouzdaniji pokazatelj Eratostenove veštine od čuvenog merenja obima.
Obim iz jednog ugla: O = 360° · s / α, gde je s rastojanje duž meridijana a α razlika visina Sunca ili nebeskog pola između dva mesta.
Uslov: zraci moraju biti uporedni, dakle izvor mora biti mnogo dalji od razmaka između posmatrača.
Ovo je prvo apsolutno merenje u astronomiji — prvi rezultat izražen u jedinici dužine, a ne u odnosu prema nečem drugom.
Svet dobija dimenzije
Sada se dva rezultata konačno spajaju, i vredi videti šta se dobija. Napomena: sledeći račun je naš, radi ilustracije. Nemamo potvrdu da ga je Eratosten ili neko od savremenika ovako izveo.
Aristarh je dao da je Mesečev prečnik oko trećine Zemljinog. Eratosten je dao Zemljin prečnik. Dakle:
Prvi put u istoriji, veličina jednog nebeskog tela izražena je u jedinici kojom se meri put između dva grada. Svemir prestaje da bude poredak i postaje prostor sa merama.
Ono što nedostaje je rastojanje do Meseca. Aristarhov postupak ga nije davao pouzdano, jer je počivao na uglu koji se nije mogao izmeriti. Za to je trebalo naći sasvim drugi način — i biće nađen za jedan vek.
Manji broj koji je pobedio
Priča ima nastavak koji vredi ispričati, jer pokazuje da bolji rezultat ne pobeđuje sam od sebe.
Posidonije (oko 135–51. p. n. e.) ponovio je merenje drugom metodom. Umesto Sunca, koristio je zvezdu Kanopus, drugu po sjaju na nebu. Na Rodosu ona o svom najvišem prolazu jedva dodiruje horizont; u Aleksandriji se penje osetno više. Iz razlike te visine i pretpostavljenog rastojanja Rodos–Aleksandrija dobio je najpre oko 240 000 stadija — vrednost bliska Eratostenovoj.
Ali rastojanje Rodos–Aleksandrija bilo je pomorska procena, dakle nesigurno. Sa manjom pretpostavljenom vrednošću tog rastojanja, ponovljen račun dao je 180 000 stadija. To je znatno premalo.
Tu manju vrednost preuzeo je Ptolemej u drugom veku nove ere, i pošto je Ptolemejev autoritet bio ogroman, ona je vladala narednih trinaest vekova. Zemlja se u učenim knjigama smatrala manjom nego što jeste, za skoro trećinu.
Posledica je poznata. Kada je Kristifor Kolumbo krajem petnaestog veka ubeđivao portugalski i španski dvor da se do Azije može stići plovidbom ka zapadu, oslanjao se na Ptolemejev mali obim, dodatno umanjen, i na preterane procene istočne dužine Azije. Stručne komisije koje su ga odbile bile su u pravu: rastojanje je bilo mnogo veće nego što je Kolumbo tvrdio i nijedan brod tog doba ne bi ga prešao. Da između nije bilo neočekivanog kontinenta, ekspedicija bi propala. Priča po kojoj su ga učeni ljudi odbili zato što su verovali u ravnu Zemlju je izmišljotina — sporio se broj, ne oblik.
Šta je ovo promenilo
Eratostenovo merenje je prvi put povezalo nebo i tlo u istoj jedinici. Do tada su to bila dva odvojena sveta: jedan u kome se mere putevi u stadijima, drugi u kome se mere uglovi u delovima kruga. Senka u podne premostila ih je jednim korakom.
Metodološki, uveden je obrazac koji astronomija koristi do danas: izmeri ugao na dva mesta, iskoristi poznato rastojanje između njih, izračunaj nedostupno. Ista shema meriće rastojanje do Meseca, do Sunca, do najbližih zvezda. Menjaju se samo razmere i tačnost.
I još nešto, manje očigledno. Sve što je do sada u ovoj priči izmereno — od vavilonskog meseca do Eratostenovog obima — dobijeno je brojanjem, geometrijom i strpljenjem, bez ijednog instrumenta koji uvećava. To je granica koju gola posmatračka astronomija može da dosegne pomoću zdravog razuma.
Da bi se otišlo dalje, trebalo je nešto što do tada nije postojalo: način da se ugao pretvori u broj. Aristarh je morao da se ograđuje nejednakostima jer nije imao tablicu koja bi mu za dati ugao dala odnos stranica. Eratosten je radio sa uglom koji se sreća namestio da bude čist razlomak kruga. Ni jedan ni drugi nisu mogli da reše proizvoljan trougao.
Čovek koji je taj alat napravio radio je na Rodosu jedan vek kasnije. Sastavio je prvu tablicu koja povezuje ugao sa dužinom tetive, upotrebio je da izmeri rastojanje do Meseca, napravio katalog od preko osamsto zvezda — i pri tom uporedio svoja merenja sa vavilonskim zapisima starim vekovima, pa primetio da se celo nebo vrlo sporo pomera.
Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.
Comments
Post a Comment