Eudoks i sfere unutar sfera
Pet tela na nebu ne poštuju pravila. Zvezde se svake noći okrenu ukrug i tako večno, u savršenom poretku. Sunce i Mesec putuju kroz zodijak stalno ka istoku, brže ili sporije, ali uvek napred. A onda tu su Mars, Jupiter, Saturn, Venera i Merkur — pet tačaka koje idu kroz zodijak ka istoku, pa jednog trenutka uspore, zaustave se, krenu unazad, opišu petlju, ponovo stanu i nastave kao da se ništa nije desilo.
Grci su ih zvali planētes asteres — „lutajuće zvezde". Otuda naša reč planeta.
Za Vavilonce ovo nije bio problem. Njihove tablice su davale brojeve, a broj ne mora ništa da objašnjava. Ali čim je nebo postalo slika — lopta unutar sfere, kao u prethodnom delu — pojavila se obaveza koje ranije nije bilo. U slici se ne može samo zapisati da je nešto krenulo unazad. Mora se pokazati kako.
To je najteži problem antičke astronomije i njemu će biti posvećeno narednih dve hiljade godina.
Šta se tačno vidi
Opišimo prvo pojavu onako kako je opisao svako ko je ikad pratio Mars kroz nekoliko meseci.
Mars se kroz zodijak kreće ka istoku, otprilike pola stepena dnevno. Zatim počinje da usporava. Jednog dana više se ne pomera — kaže se da je stacionaran. Onda kreće ka zapadu, sve brže, pa opet sporije, i posle nekih jedanaest nedelja ponovo stane. Zatim nastavi ka istoku i nastavi normalno.
Kretanje ka istoku zove se direktno, kretanje ka zapadu retrogradno (lat. retrogradus, koji ide unazad). Pošto Mars u međuvremenu i menja svoju udaljenost od ekliptike, put koji opiše na nebu nije uska linija napred-nazad nego petlja, često u obliku izdužene osmice.
Uz retrogradnost idu dve stvari koje su bile poznate i koje su kasnije postale ubojite:
- Petlja se ponavlja u stalnom razmaku. Kod Marsa svakih oko 780 dana, kod Jupitera svakih oko 399, kod Saturna svakih oko 378. To su brojevi koje su Vavilonci izmerili vrlo tačno.
- Planeta je u sredini petlje najsjajnija. Mars usred retrogradnog hoda može biti sjajniji od najsjajnijih zvezda, a u drugim razdobljima jedva primetan. Razlika je ogromna i vidi se golim okom bez ikakvog merenja.
Merkur i Venera imaju dodatnu posebnost: nikad se ne udaljavaju mnogo od Sunca. Venera ide do oko 46 stepeni, Merkur do oko 28. Zato se vide samo uveče posle zalaska ili ujutro pred izlazak, nikad u ponoć.
Šta se zapravo dešava
Objasnimo sada uzrok savremenim jezikom, uz izričitu ogradu: ništa od ove slike Grcima nije bilo dostupno, i biće potrebno skoro dve hiljade godina da se do nje dođe. Iznosim je ovde samo da bi se videlo koliko je zadatak koji su sebi postavili bio težak.
Planete kruže oko Sunca, i to tako da bliže kruže brže. Zemlja je takođe planeta i takođe kruži. Ono što vidimo na nebu je razlika dva kretanja: našeg i planetinog.
Uzmimo Mars. Zemlja obilazi Sunce za oko 365 dana, Mars za oko 687. Zemlja je, dakle, brža i s vremena na vreme stigne Mars sa unutrašnje strane i prestigne ga. Dok ga prestiže, Mars se u odnosu na daleke zvezde privremeno projektuje unazad — kao što se, kad na putu prestižeš sporiji automobil, on nakratko čini kao da klizi unazad u odnosu na daleke brdo iza njega.
Gde analogija prestaje da važi. Automobili se kreću po pravoj i uporedo; planete se kreću po zatvorenim putanjama koje leže u ravnima nagnutim jedna prema drugoj. Zbog tog nagiba planeta tokom petlje ne ide samo levo-desno nego i gore-dole u odnosu na ekliptiku, pa umesto ravne crte dobijamo osmicu ili omču. I još nešto: kod prestizanja na putu rastojanje se menja malo, dok se rastojanje Zemlja–Mars u toku ciklusa menja višestruko. Otuda promena sjaja, koja u analogiji sa automobilom nema odgovarajuću pojavu.
Kod Merkura i Venere odnos je obrnut — one su bliže Suncu i brže od nas, pa one prestižu nas. A pošto su unutar Zemljine putanje, sa Zemlje se nikad ne mogu videti daleko od Sunca. To je razlog njihovog ograničenog udaljavanja.
Odatle se izvodi i period ponavljanja petlje. Ako je TZ vreme za koje Zemlja obiđe pun krug, a TP vreme za koje ga obiđe planeta, onda su njihove ugaone brzine 360°/TZ i 360°/TP. Razmak između dva uzastopna prestizanja, koji zovemo sinodički period S, jeste vreme za koje se razlika pređenih uglova nagomila do punog kruga:
- S — sinodički period, razmak između dve uzastopne petlje, u danima
- TZ — vreme jednog Zemljinog obilaska, 365,26 dana
- TP — vreme jednog obilaska planete, u danima
Za unutrašnje planete članovi zamenjuju mesta, jer one prestižu nas: 1/S = 1/TP − 1/TZ.
Provera na Marsu, korak po korak:
Dobili smo tačno onaj broj koji su Vavilonci izmerili čistim brojanjem. To je lep primer nečega što se u nauci stalno ponavlja: isti podatak, dve potpuno različite priče iza njega. Vavilonac je znao broj 780 i nije znao zašto. Mi znamo zašto. Grk koga sada upoznajemo znao je broj, nije znao zašto, i pokušao je da napravi sliku u kojoj taj broj ima smisla — sa pogrešnim pretpostavkama.
Zahtev: spasiti pojave
U Platonovoj Akademiji, sredinom četvrtog veka p. n. e, zadatak je postavljen u obliku koji je odredio sve što sledi. Traži se, kaže predanje, da se nepravilna kretanja planeta objasne slaganjem jednolikih kružnih kretanja. Grčki izraz je sōzein ta phainomena — „spasiti pojave", odnosno pokazati da se ono što vidimo može izvesti iz onoga što pretpostavljamo.
Da je Platon lično tako formulisao zadatak, znamo iz jednog kasnog izvora: Simplikije, komentator iz šestog veka nove ere, prenosi to preko Sosigena iz drugog veka. Razmak je više od sedam vekova i deo istoričara sumnja u tačnost pripisivanja. Ali kakav god bio izvor, sama pretpostavka je nesporno vladala — svi grčki modeli koje ćemo videti sastavljeni su isključivo od krugova i jednolikih kretanja.
Zašto baš to ograničenje? Delom iz pitagorejske estetike koju smo opisali u prethodnom delu: krug je savršena linija. Delom iz Aristotelove fizike: nebo je od etra, kome je kružno kretanje prirodno. Ali postoji i treći, prećutan i mnogo bolji razlog. Jednoliko kružno kretanje je jedino kretanje koje se samo od sebe ponavlja večno i tačno. Nebo se očigledno ponavlja. Ako hoćeš model koji se ponavlja, sastavljaš ga od delova koji se ponavljaju.
Ograničenje je bilo pogrešno. Ali je bilo plodno pogrešno: postavilo je jasno pravilo igre, a jasno pravilo se može proveriti i, na kraju, oboriti. Da su Grci dopustili bilo kakvu krivu, ne bi imali šta da dokazuju.
Eudoks iz Knida
Eudoks (oko 390–337. p. n. e.) rođen je u Knidu, na obali Male Azije. Studirao je u Atini, putovao u Egipat, gde je proveo više od godinu dana kod sveštenika u Heliopolisu, pa se vratio i osnovao sopstvenu školu u Kiziku. Pripada mu i opservatorija u Knidu, jedna od prvih o kojima imamo vest.
Bio je najbolji matematičar svog vremena i to nije preterivanje. Njegova teorija proporcija rešila je krizu koju su izazvali nesamerljivi odnosi — otkriće da se dijagonala kvadrata ne može izraziti kao odnos celih brojeva prema stranici. Eudoks je našao način da se odnosi porede i kad se ne mogu izraziti brojevima, i taj postupak čini petu knjigu Euklidovih Elemenata. Njegov metod iscrpljivanja, kojim je dokazao da se zapremina kupe odnosi prema zapremini valjka iste osnove i visine kao 1 prema 3, prethodnica je integralnog računa.
Takav čovek je pristupio problemu planeta. Njegov spis O brzinama (Peri tachōn) nije sačuvan; ono što znamo dolazi iz Aristotelove Metafizike i, mnogo detaljnije, iz Simplikijevog komentara. Rekonstrukciju modela u obliku u kome ga danas razumemo dao je italijanski astronom Đovani Skjapareli (Giovanni Schiaparelli) 1875. godine — dakle više od dva milenijuma kasnije.
Sfere unutar sfera
Eudoksova zamisao je sledeća. Svakoj planeti pripada nekoliko sfera. Sve imaju isto središte — središte Zemlje. Otuda naziv homocentrične sfere (grč. homos, isti, i kentron, središte). Svaka sfera se okreće jednoliko oko svoje ose, ali ta osa nije ukotvljena u prostor: ona je pričvršćena za sferu iznad nje i nosi se zajedno s njom.
To je suština. Ako se spoljna sfera okreće, unutrašnja se okreće i oko svoje ose i zajedno sa spoljnom. Slaganjem takvih obrtanja dobijaju se kretanja koja pojedinačno ni jedno nije. Planeta je tačka na najunutrašnjijoj sferi.
Za svaku od pet planeta Eudoks koristi četiri sfere:
- Prva sfera — okreće se jednom dnevno oko ose nebeskih polova, sa istoka na zapad. Ona daje dnevno okretanje celog neba i zajednička je svemu.
- Druga sfera — okreće se oko ose upravne na ekliptiku, u vremenu koje planeti treba da obiđe zodijak. Ona daje kretanje planete kroz sazvežđa.
- Treća i četvrta sfera — okreću se u istom vremenu ali u suprotnim smerovima, oko osa koje nisu uporedne nego zaklapaju mali ugao. To vreme je sinodički period. Njihovo slaganje daje retrogradnost.
Sunce i Mesec dobijaju po tri sfere, a nepokretne zvezde jednu. Ukupno:
Hipopeda — osmica iz dva obrtanja
Pogledajmo šta rade treća i četvrta sfera, jer je to Eudoksov pravi izum.
Zamislimo najpre samo te dve, bez ostalih. Treća se okreće oko neke ose. Četvrta je pričvršćena za nju, okreće se istom brzinom u suprotnom smeru, ali oko ose nagnute za mali ugao θ u odnosu na osu treće. Planeta je tačka na ekvatoru četvrte sfere.
Šta ta tačka opisuje?
Korak 1. Da su ose iste, obrtanja bi bila jednaka i suprotna i tačka bi mirovala. Sve što se dešava dolazi od nagiba θ.
Korak 2. Pošto su brzine jednake po veličini i suprotne po smeru, tačka se ne udaljava trajno ni u jednom smeru; posle jednog punog obrta oba kretanja se ponište i ona se vrati na polazište. Kretanje je, dakle, zatvoreno i periodično, sa periodom jednakim periodu obrtanja obe sfere.
Korak 3. Rezultujuća putanja leži na sferi (jer je tačka stalno na istoj udaljenosti od središta) i istovremeno na jednom valjku koji tu sferu iznutra dodiruje. Presek sfere i takvog valjka je zatvorena kriva u obliku ležeće osmice, sa presekom u tački dodira.
Eudoks je tu krivu nazvao hipopeda (grč. hippopedē) — sponom kojom se konju vezuju noge, jer je i ona u obliku osmice.
Korak 4. Najveća širina osmice, izražena preko nagiba osa, iznosi:
Korak 5. Sada dodajemo drugu sferu, koja ceo taj sklop vuče ka istoku kroz zodijak. Osmica se ne crta na mirnom nebu nego na nebu koje klizi. Duža osa osmice postavljena je duž ekliptike, pa se u jednom delu petlje kretanje osmice sabira sa kretanjem ka istoku, a u drugom delu oduzima.
Korak 6. Ako je u tom drugom delu brzina po osmici veća od brzine kroz zodijak, zbir je negativan — planeta ide unazad. Ako je manja, planeta samo uspori i ne vrati se. Retrogradnost, dakle, nastaje kao razlika dve brzine, i model sam od sebe objašnjava zašto neke planete prave izrazite petlje a neke samo usporavanja.
Ovo je izuzetno lepo rešenje. Iz čisto jednolikih kružnih kretanja, bez ijednog izuzetka od pravila, dobija se kretanje koje staje, vraća se i pravi omču. Zadatak je, u načelu, izvršen.
Retrogradno kretanje — privremeno kretanje planete ka zapadu među zvezdama. Središnji problem astronomije narednih dve hiljade godina.
Sinodički period — razmak između dve uzastopne petlje. Mars 780 dana, Jupiter 399, Saturn 378, Venera 584, Merkur 116.
Eudoksov princip — slaganjem više jednolikih kružnih kretanja oko različito nagnutih osa dobija se kretanje koje ni izbliza nije kružno. Ideja je tačna i preživeće sve modele koji dolaze.
Gde je model pukao
Eudoksov sistem je genijalan i ne radi. Vredi tačno videti gde, jer se iz načina na koji je pukao vidi šta astronomiji tada nedostaje.
Prvi problem: sjaj. Sve sfere imaju isto središte, dakle planeta je uvek na istoj udaljenosti od Zemlje. Model po svojoj konstrukciji ne dopušta promenu rastojanja. A Mars usred petlje očigledno blista, i to je pojava koju vidi svako ko podigne pogled. Isto važi za Veneru. Ovo nije sitna netačnost nego načelna nemogućnost: ne postoji podešavanje parametara koje bi to popravilo. Simplikije prenosi da je već Autolik iz Pitane, oko 310. godine p. n. e, na to ukazivao.
Drugi problem: Mars. Za Mars su brojevi izlazili najgore. Da bi se dobila retrogradna petlja, brzina po hipopedi mora premašiti brzinu kroz zodijak — a kod Marsa je odnos ta dva takav da model ili ne daje petlju, ili daje petlju pogrešnog oblika. Zanimljivo je da vrednost sinodičkog perioda za Mars, koju Simplikije pripisuje Eudoksu, iznosi 8 meseci i 20 dana, dakle oko 260 dana, umesto tačnih 780. To je ili gruba greška, ili greška prepisivača, ili je Eudoks tu vrednost namerno podesio da bi model radio. Ne znamo.
Treći problem: Venera. Ni njeno kretanje se ne reprodukuje dobro, a njena velika udaljenost od Sunca u pojedinim razdobljima loše se uklapa.
Četvrti problem: Sunce. Eudoks pretpostavlja da Sunce kroz zodijak ide jednoliko. Ali godišnja doba nisu jednako duga — razlika između najduže i najkraće četvrtine godine iznosi nekoliko dana, i to je bilo poznato još Metonu i Euktemonu u petom veku p. n. e. Jednoliko kretanje to ne daje.
Kalip iz Kizika (oko 370–300. p. n. e.), Eudoksov naslednik, pokušao je popravku na jedini način koji je sistem dopuštao — dodavanjem sfera. Suncu i Mesecu po dve, Marsu, Veneri i Merkuru po jednu. Ukupno sedam novih, pa je sistem narastao na 34 sfere. Sunčeve nejednake četvrtine time su bile popravljene. Osnovni nedostatak, nepromenljivo rastojanje, nije se mogao dirati.
Aristotel pravi mašinu
Za Eudoksa i Kalipa sfere su bile računski postupak. Nigde nema tvrdnje da one postoje kao predmeti; to je geometrijska konstrukcija koja daje tačan položaj, ništa više.
Aristotel je od toga napravio mehanizam. U njegovoj slici sfere su stvarne, načinjene od etra, i fizički se dodiruju.
Time je odmah nastao problem koji u čisto računskoj verziji nije postojao. Ako je Saturnova unutrašnja sfera pričvršćena za Jupiterovu spoljašnju, onda Saturnovo kretanje mehanički prenosi svoj obrt na Jupiter, gde nema šta da traži. Aristotelovo rešenje je da između svakog para planeta ubaci uzvratne sfere — sfere koje se okreću suprotno i poništavaju preneseno kretanje pre nego što stigne do sledeće planete.
Broj sfera zbog toga naraste. Aristotel u Metafizici navodi dva računa, jedan sa 55 i jedan sa 47 sfera, i sam nije siguran koji je ispravan. To je verovatno najstariji poznati slučaj u istorici nauke gde teorija postane toliko složena da joj autor ne ume da izbroji delove.
Aristotelova verzija je, uzgred, i fizički lošija od Eudoksove. Kao računska sprava, homocentrične sfere su elegantne. Kao mašina od pedeset pet ugnježdenih ljuštura koje se dodiruju i međusobno poništavaju, sistem je nezgrapan i nemoguć. Ali je bio fizički, imao je uzrok, imao je pogon — a to je autoritet koji su generacije htele. Preživeo je, u obliku „nebeskih sfera", do sedamnaestog veka.
Šta je ovo promenilo
Eudoksov model je odbačen relativno brzo — u roku od jednog do dva veka astronomi su prešli na sasvim drugačiju konstrukciju. Ali je ostavio tri stvari koje se nisu izgubile.
Prvo, metod. Ideja da se složeno kretanje razlaže na više prostih, jednolikih, i da se onda slaganjem tih prostih dobija ono što se vidi — to je pristup koji preživljava svaku pojedinačnu teoriju. Ptolemejevi epicikli su ista ideja u drugoj geometriji. Kopernikov sistem takođe. Rastavljanje periodičnog kretanja na zbir jednostavnih periodičnih komponenti danas je jedan od najosnovnijih alata fizike i tehnike.
Drugo, standard. Od Eudoksa nadalje model se ocenjuje po tome reprodukuje li merene brojeve. Ne po tome je li lep, uverljiv ili u skladu sa učenjem. Zato je model i propao — jer je neko uporedio predviđanje sa nebom i video da Mars ne izlazi.
Treće, jasno definisan neuspeh. Model je pao na tačno određenoj činjenici: rastojanje planete od Zemlje mora se menjati. To je konkretan, merljiv zahtev koji svaki naredni model mora ispuniti. Neuspeh koji kaže šta tačno nedostaje vredi više od uspeha koji ne kaže ništa.
I tu se otvara nešto krupnije. Ako se rastojanja menjaju, onda uopšte ima smisla pitati kolika su. Do sada su sva pitanja bila o uglovima i vremenima — gde je nešto na nebu i kada će se vratiti. Nijedno nije bilo o daljini. Nebo je bilo raspored, ne prostor sa dimenzijama.
Nekoliko decenija posle Eudoksa, na Samosu i u Aleksandriji, jedan čovek postavio je to pitanje ozbiljno. Nije imao nijedan instrument koji mi ne bismo mogli da napravimo u dvorištu. Imao je geometriju, oblik polumeseca i strpljenje da izmeri jedan ugao — i iz toga je izveo koliko je puta Sunce dalje od Meseca, i koliko je puta veće od Zemlje.
Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.
Comments
Post a Comment