Hiparh — ugao postaje broj
Prethodni deo se završio na jednom nedostatku. Aristarh je morao da svoje rezultate iskazuje nejednakostima, jer nije imao način da uglu pridruži broj. Eratosten je imao sreću da mu ugao ispadne čist razlomak punog kruga. Ni jedan ni drugi nisu mogli da reše proizvoljan trougao — da kažu: ugao je toliki, dakle odnos stranica je toliki.
Bez tog alata astronomija je mogla da meri samo ono što joj geometrija slučajno namesti. Sa njim, svaki trougao na nebu postaje računski zadatak.
Čovek koji ga je napravio radio je na Rodosu i, po svemu što znamo, bio je najveći posmatrač antike. Zvao se Hiparh iz Niceje (oko 190–120. p. n. e.). Rodio se u Bitiniji, u današnjoj Turskoj, a najveći deo rada obavio je na Rodosu, ostrvu koje je tada bilo bogato trgovačko središte sa dobrim nebom.
Od svega što je napisao sačuvan je jedan jedini spis, i to najmanje važan — komentar na pesničko delo o sazvežđima. Sve ostalo znamo posredno, najviše preko Ptolemeja, koji ga u Almagestu stalno citira, ponekad da bi ga ispravio, češće da bi se na njega oslonio.
Zašto je uopšte trebao novi alat
Problem je ovakav. Na nebu se mere uglovi. Sve što posmatrač može da zabeleži jeste ugaono rastojanje između dve tačke, ili visina nad horizontom. Ali računi koje želimo — koliko je nešto daleko, koliko je veliko, gde će biti za mesec dana — traže dužine: stranice trouglova, poluprečnike, razmake.
Potrebna je, dakle, veza. Nešto što za svaki ugao kaže koliku dužinu on „preseca" u krugu. To zvuči kao sitnica; nije. To je prelaz sa geometrije oblika na geometriju brojeva, i bez njega nema računske astronomije.
Hiparh je taj most sagradio pomoću tetive.
Tablica tetiva
Zamislimo krug poluprečnika R i u njemu centralni ugao α. Krajevi tog ugla seku krug u dve tačke. Duž koja ih spaja je tetiva (grč. chordē, struna; otuda i naša reč akord).
Označimo dužinu te tetive sa crd α. Ona zavisi samo od ugla i od poluprečnika — dakle, za izabrani poluprečnik, svakom uglu odgovara tačno jedan broj.
Hiparhova zamisao je bila da izračuna te brojeve jednom za sva vremena i zapiše ih u tablicu. Ko posle njega bude imao trougao sa poznatim uglom, više ne mora ništa da konstruiše: potraži broj u tablici.
Koliki poluprečnik izabrati? Odgovor je vrlo domišljat. Pun krug ima 360 stepeni, dakle:
Sa takvim poluprečnikom, dužina luka izražena u jedinicama poluprečnika brojčano je jednaka uglu izraženom u lučnim minutima. Za male uglove tetiva i luk se skoro poklapaju, pa tablica postaje neposredno upotrebljiva.
Da je Hiparh koristio baš vrednost 3438, zaključak je Džeralda Tumera (Gerald Toomer) iz 1973. godine, izveden iz brojeva koje Ptolemej navodi. To je rekonstrukcija, ne sačuvani podatak, i tako je treba čitati. Sama tablica nije sačuvana; iz posrednih izvora se procenjuje da je obuhvatala uglove u koracima od 7,5 stepeni.
Veza sa onim što danas učimo. Savremena trigonometrija ne koristi tetivu nego polutetivu — sinus. Veza je: crd α = 2R · sin(α/2). Tetiva je, dakle, ista stvar posmatrana sa celim uglom umesto sa polovinom. Hiparhu sinus nije bio poznat; taj korak napraviće indijski matematičari sedam vekova kasnije, i o tome će biti reči u desetom delu. Savremeni zapis navodim samo da bi se videlo o čemu je reč — Hiparh je radio isključivo sa tetivama i sa geometrijskim dokazima.
Kako se tablica pravi? Nekoliko vrednosti sledi iz pravilnih mnogouglova upisanih u krug, čije stranice Euklid daje u Elementima. Tetiva ugla od 60 stepeni je stranica šestougla, dakle jednaka poluprečniku. Tetiva ugla od 90 stepeni je stranica kvadrata. Tetiva od 36 i 72 stepena dolaze iz petougla. Ostale vrednosti dobijaju se polovljenjem — postoji geometrijski postupak koji iz tetive datog ugla daje tetivu polovine tog ugla — i sabiranjem, pomoću teoreme o zbiru i razlici uglova.
To je mukotrpan posao od stotina koraka, ali se radi jednom.
Prva upotreba: koliko je Mesec daleko
Sa alatom u ruci, Hiparh je napao pitanje koje je Aristarhu izmaklo — stvarno rastojanje do Meseca.
Ideja je jednostavna i zove se paralaksa (grč. parallaxis, promena). Uvodimo je ovde jer se od ovog trenutka koristi neprekidno do kraja serijala.
Ako isti predmet gledaju dva posmatrača sa različitih mesta, on se u odnosu na daleku pozadinu vidi na različitim položajima. Što je predmet bliži, to je razlika veća. Ta razlika položaja jeste paralaksa.
Gde analogija sa pomeranjem glave prestaje da važi. Uobičajeno se paralaksa objašnjava zatvaranjem naizmenično jednog pa drugog oka. To je ispravna slika za princip, ali ne i za razmere: pomeraj između dva oka je nekoliko centimetara, a ovde je pomeraj hiljade kilometara. Osim toga, u sobi imamo pozadinu na dohvat i predmet na dohvat, pa je pomeraj velik i očigledan. Kod Meseca je pomeraj manji od jednog stepena, a „pozadina" — zvezde — toliko daleka da se sama uopšte ne pomera. Upravo to poslednje je uslov bez koga metod ne radi.
Hiparh je iskoristio pomračenje Sunca, i to na način koji je vrlo dovitljiv. Pomračenje o kome je reč verovatno je ono od 14. marta 190. godine p. n. e; neki istraživači pretpostavljaju drugo, iz 129. godine p. n. e. Podatak dolazi preko Papusa i Ptolemeja i nije potpuno pouzdan.
U oblasti Helesponta, na severu, pomračenje je bilo potpuno. U Aleksandriji, znatno južnije, u istom trenutku bilo je pokriveno oko četiri petine Sunčevog koluta.
Zaključak: Mesec se, gledan sa ta dva mesta, projektuje na različite tačke neba, i razlika iznosi jednu petinu Sunčevog prečnika. Pošto Sunčev prečnik iznosi oko pola stepena:
Sada geometrija. Označimo:
- b — razmak između dva posmatrača, mereno upravno na pravac ka Mesecu, u Zemljinim poluprečnicima
- p — paralaksa, ugao u stepenima
- d — rastojanje do Meseca, u istim jedinicama kao b
Korak 1. Razmak b je, gledan iz Meseca, tetiva koja odgovara uglu p. Za male uglove tetiva i luk se poklapaju, pa možemo pisati odnos luka prema punom obimu kruga poluprečnika d:
Korak 2. Izrazimo d:
Korak 3. Procenimo b. Helespont je na geografskoj širini oko 40 stepeni, Aleksandrija oko 31. Razlika je oko 9 stepeni, pa je pravolinijski razmak jednak tetivi tog ugla u Zemljinoj lopti:
Korak 4. Uvrstimo:
Napomena: ovaj račun je naš, uprošćen radi jasnoće. Hiparhov postupak je bio složeniji, jer je uzimao u obzir i to što razmak dva grada nije upravan na pravac ka Mesecu, i što Sunce takođe ima svoju, mnogo manju paralaksu. Rezultat je zato drugačiji od naše grube procene.
Papus prenosi da je Hiparh dobio rastojanje od 71 Zemljinog poluprečnika, a u drugom spisu vrednost oko 67. Ptolemej navodi da je Hiparh davao raspon između 62 i 73 poluprečnika, priznajući da tačnost merenja ne dopušta jedan broj.
Savremena vrednost je 60,3 Zemljina poluprečnika u proseku. Hiparhova greška je, dakle, oko petnaest odsto — i to je, s obzirom na sredstva, izvanredan rezultat. Prvo pouzdano izmereno rastojanje do nekog nebeskog tela u istoriji.
Za Sunce nije uspeo. Paralaksa Sunca je toliko mala da je izvan domašaja svakog merenja bez optike; Hiparh je zaključio samo da je Sunce „veoma daleko" i dao donju granicu. Pitanje stvarnog rastojanja do Sunca ostaće otvoreno još osamnaest vekova.
Sunce koje ne ide jednoliko
Sećamo se problema iz petog dela: godišnja doba nisu jednako duga. Ako Sunce jednoliko obilazi krug oko Zemlje, četvrtine tog kruga — od ekvinocija do solsticija — moraju trajati jednako. Ne traju.
Hiparh je izmerio da od prolećnog ekvinocija do letnjeg solsticija prođe 94½ dana, a od letnjeg solsticija do jesenjeg ekvinocija 92½ dana. Preostale dve četvrtine su zajedno kraće. Razlika je nesporna i mora se objasniti.
Rešenje koje je upotrebio zove se ekscentar (grč. ekkentros, van središta). Sunce se i dalje kreće po krugu, i to savršeno jednoliko — pravilo iz Platonove škole ostaje netaknuto. Ali Zemlja nije u središtu tog kruga, nego pomerena u stranu.
Posledica je odmah vidljiva. Kad je Sunce u delu kruga koji je bliži Zemlji, isti pomak po krugu vidi se pod većim uglom, pa nam se čini brže. U udaljenijem delu čini se sporije. Kretanje je stvarno jednoliko; prividno je nejednoliko zato što ne gledamo iz središta.
Iz izmerenih dužina godišnjih doba Hiparh je izračunao koliko je Zemlja pomerena od središta. Dobio je da to pomeranje iznosi jednu dvadesetčetvrtinu poluprečnika, a da je tačka najvećeg rastojanja — apogej (grč. apogeion, od Zemlje) — na oko 65,5 stepeni od prolećne tačke.
Postojalo je i drugo rešenje, matematički potpuno jednako: epicikl (grč. epikyklos, krug na krugu). Sunce kruži po malom krugu, a središte tog malog kruga kruži oko Zemlje po velikom. Apolonije iz Perge (oko 262–190. p. n. e.), veliki geometar koji je proučavao konusne preseke, dokazao je da ekscentar i epicikl, pri odgovarajućem izboru veličina i brzina, daju identično kretanje. Hiparh je taj dokaz preuzeo i koristio.
Ovo je važan trenutak i vredi ga zapamtiti. Dva različita mehanizma daju isto predviđanje. Nikakvo posmatranje ih ne može razlikovati. Astronomija se tu prvi put sudara sa pitanjem koje će je pratiti stalno: da li model opisuje kako svet jeste, ili samo kako izgleda. Grci su to pitanje ostavili otvorenim, i to ne iz nemara — nisu imali nikakav način da ga reše.
Katalog zvezda
Plinije Stariji piše da je Hiparha na sastavljanje kataloga podstakla pojava nove zvezde, koju je opazio oko 134. godine p. n. e. Zapanjen što se na nebu može pojaviti nešto novo, kaže Plinije, poduhvatio se popisa svih zvezda kako bi potomstvo moglo da proveri da li se nebo menja.
Priča je lepa i može biti tačna, ali dolazi iz izvora dva veka mlađeg i treba je uzeti sa rezervom. Postoji i mogućnost da je „nova zvezda" bila kometa.
Katalog je, u svakom slučaju, napravljen, oko 129. godine p. n. e, i obuhvatao je otprilike 850 zvezda. Za svaku je zabeležen položaj — po svemu sudeći u sistemu vezanom za nebeski ekvator, mada se o tome raspravlja — i procena sjaja.
Sjaj je razvrstan u šest razreda, koje danas zovemo magnitudama (lat. magnitudo, veličina). Prva magnituda su najsjajnije zvezde, šesta one koje se golim okom jedva vide. Podela je potpuno proizvoljna i zasnovana na proceni okom.
Ova skala se, neverovatno, koristi i danas — sa dodatkom da su joj u devetnaestom veku date tačne brojne granice, pa je proširena i na negativne vrednosti za tela sjajnija od prve magnitude. Kad savremeni astronom kaže da je zvezda pete magnitude, koristi Hiparhovu podelu staru dvadeset jedan vek.
Treba, doduše, biti oprezan: pripisivanje magnituda lično Hiparhu nije potpuno sigurno. Prvi izvor u kome ih jasno vidimo je Ptolemejev Almagest, tri veka kasnije.
Sam katalog dugo se smatrao izgubljenim. Godine 2022. objavljeno je da je deo njegovog teksta pronađen u palimpsestu — rukopisu sa koga je stariji tekst sastrugan da bi se pergament ponovo upotrebio. Reč je o zborniku Codex Climaci Rescriptus; savremenim snimanjem u više talasnih dužina ispod hrišćanskog teksta očitani su položaji zvezda iz sazvežđa Severne krune, sa tačnošću koja odgovara Hiparhovom dobu. To je prvi neposredni ostatak kataloga koji imamo.
Nebo koje klizi
Najveće Hiparhovo otkriće nije proizašlo iz novog posmatranja nego iz poređenja sa starim.
Upoređujući svoja merenja sa onima koja je stotinu pedeset godina ranije u Aleksandriji izveo Timoharis, Hiparh je primetio da se položaji zvezda u odnosu na prolećnu tačku — presek ekliptike i nebeskog ekvatora — promenili. Kod zvezde Spike, najsjajnije u Devici, razlika je iznosila oko dva stepena.
Ključno je da se pomeranje odnosi na sve zvezde podjednako, i to samo po dužini duž ekliptike, dok im međusobni razmaci ostaju isti. Nije se, dakle, pomerila Spika. Pomerila se prolećna tačka.
Hiparh je iz toga izveo brzinu, oprezno, kao donju granicu:
Ta pojava zove se precesija ravnodnevica (lat. praecessio, prethođenje). Savremena vrednost je oko 1 stepen na 72 godine, dakle:
Šta se zapravo dešava — uz izričitu napomenu da Hiparhu ovo objašnjenje nije bilo dostupno, niti je moglo biti, jer traži pojmove koji nastaju tek u sedamnaestom veku. Zemljina osa ne pokazuje večno u istu tačku neba, kako smo pojednostavljeno rekli u prvom delu. Ona vrlo sporo opisuje kupu, kao osa čigre koja se naginje dok se vrti. Uzrok je to što Zemlja nije savršena lopta nego je ispupčena oko ekvatora, pa privlačenje Sunca i Meseca na to ispupčenje deluje obrtno. Puna razrada pripada Njutnu i o njoj će biti reči u šesnaestom delu.
Posledice su krupne. Severnjača nije oduvek bila severnjača — pre četiri i po hiljade godina nebeski pol bio je blizu zvezde Tuban u Zmaju, i egipatski graditelji su se ravnali prema njoj. Za dvanaest hiljada godina najbliža polu biće Vega.
Zodijački znaci se, isto tako, više ne poklapaju sa istoimenim sazvežđima. Znak je vezan za prolećnu tačku, koja klizi; sazvežđe stoji. Razmimoilaženje je od Hiparhovog vremena naraslo na skoro pun znak.
I još nešto: sada razumemo problem iz trećeg dela. Egipatski Sotisov ciklus nije bio čistih 1460 godina, jer se povratak Sirijusovog heliakalnog izlaska ne poklapa sa povratkom godišnjih doba. Razlog je upravo precesija.
Dve vrste godine
Iz precesije sledi nešto što do tada niko nije razlikovao: postoje dve različite godine.
- Tropska godina — od prolećnog ekvinocija do prolećnog ekvinocija. Ona određuje godišnja doba. Hiparh je dobio vrednost 365 + 1/4 − 1/300 dana, dakle 365,2467 dana. Savremena vrednost je 365,2422 — greška je oko šest i po minuta.
- Zvezdana godina — od trenutka kad se Sunce nađe kod neke zvezde do sledećeg takvog trenutka. Ona je duža, jer prolećna tačka u međuvremenu ode unazad. Razlika iznosi oko 20 minuta godišnje.
Razliku od dvadeset minuta godišnje Hiparh je izmerio poređenjem podataka razmaknutih vekovima. Nikakvo pojedinačno merenje to ne bi dalo. To je ista tehnika koju smo videli kod Vavilonaca u drugom delu: dug niz podataka pretvara nemerljivo u merljivo.
Tetiva — duž koja spaja krajeve luka. Hiparhova tablica pridružuje svakom uglu dužinu tetive, čime uglovi postaju računski upotrebljivi. Preteča sinusa.
Paralaksa — prividni pomeraj bližeg tela u odnosu na daleku pozadinu, kad se posmatra sa dva različita mesta. Što je telo bliže, paralaksa je veća. Osnovni metod merenja rastojanja u astronomiji.
Ekscentar — krug po kome se telo kreće jednoliko, ali čije središte nije tamo gde je posmatrač. Objašnjava prividno nejednoliko kretanje bez odustajanja od jednolikog kruga.
Precesija ravnodnevica — sporo klizanje prolećne tačke duž ekliptike, oko 1 stepen na 72 godine, pun krug za oko 25 800 godina.
Šta je ovo promenilo
Hiparh je astronomiji dao računski alat, i to je promena metoda koja je važnija od svakog njegovog pojedinačnog rezultata. Sa tablicom tetiva svaki trougao na nebu postaje rešiv. Sve što sledi — Ptolemejev sistem, arapska astronomija, Kopernik, Tiho — koristi taj alat u nekom obliku.
Dao je i merilo tačnosti. Pre njega su se navodili okrugli brojevi i razlomci punog kruga. Kod Hiparha se pojavljuje razlika od dvadeset minuta u dužini godine i pomeraj od dva stepena kroz sto pedeset godina. Astronomija postaje nauka u kojoj sitna razlika ima značenje.
Dao je i upotrebu arhiva. Precesija se ne može otkriti posmatranjem, samo poređenjem posmatranja kroz vekove. Hiparh je čitao vavilonske zapise, Timoharisove podatke, egipatske datume — i tražio neslaganja umesto potvrda. To je istraživački postupak u punom smislu.
Ostavio je, međutim, jednu stvar nedovršenu, i sam je toga bio svestan. Napravio je model za Sunce i model za Mesec, ali ne i za planete. Ptolemej izričito piše da se Hiparh planeta nije prihvatio, nego je samo prikupio posmatranja i zabeležio da nijedan postojeći model ne odgovara podacima — pa je posao ostavio onima koji dolaze.
To je bilo pošteno i tačno. Retrogradne petlje su i dalje bile neobjašnjene, sistem homocentričnih sfera odavno je pao na promeni sjaja, a ekscentar i epicikl radili su za Sunce ali ne i za Mars.
Trebalo je nekome ko će uzeti sve dostupne alate — tetive, ekscentre, epicikle, vavilonske periode, Hiparhova posmatranja — i sastaviti od njih jedan sistem koji pokriva sve i daje brojeve za bilo koji datum. Taj čovek pojavio se u Aleksandriji dva i po veka kasnije, i njegova knjiga postala je udžbenik astronomije za narednih hiljadu četiristo godina.
Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.
Comments
Post a Comment