Kepler i rat sa Marsom — osam lučnih minuta

Istorija astronomije

Deo 13 · Prag, 1600–1609.

Osam lučnih minuta. Toliko je odstupao najbolji kružni model koji je Kepler uspeo da sklopi za Mars, posle četiri godine računanja.

Kod bilo kog ranijeg astronoma taj broj bi značio pobedu. Ptolemejeva merenja su grešila deset i više minuta; Kopernikova nisu bila bolja. Model koji odstupa osam minuta bio bi, po svim dotadašnjim merilima, tačan.

Ali Kepler je raspolagao Tihovim podacima i znao je njihovu grešku — jedan do dva minuta, izmerenu i proverenu, kao što smo videli u prethodnom delu. Osam minuta, dakle, nije moglo biti u posmatranju. Bilo je u modelu.

Kepler je o tome napisao rečenicu koja se u istoriji nauke citira češće od bilo koje druge njegove: ta odstupanja od osam minuta, kaže, sama su pokazala put ka obnovi cele astronomije. Da je smeo da ih zanemari, priznaje, popravio bi svoju hipotezu i posao bi bio gotov.

Nije smeo. I zato je odbacio krug.

Čovek koji je tražio harmoniju

Johan Kepler (Johannes Kepler, 1571–1630) rodio se u Vajl der Štatu u Virtembergu, u osiromašenoj porodici. Otac, plaćenik, nestao je kad je Kepler imao pet godina. Majka je kasnije, 1615, optužena za veštičarenje; Kepler je proveo godine braneći je na sudu i uspeo da je oslobodi posle četrnaest meseci tamnovanja.

Bio je bolešljiv, kratkovid i sa oštećenim vidom posle boginja u detinjstvu — što je za posmatrača neba loša okolnost i delom objašnjava zašto se okrenuo računu. Školovao se za protestantskog sveštenika u Tibingenu, gde ga je profesor Mihael Mestlin upoznao sa Kopernikovim sistemom i, u privatnom razgovoru, priznao da ga smatra istinitim.

Umesto sveštenstva, Kepler je 1594. dobio mesto nastavnika matematike u Gracu. Tamo je, po sopstvenom svedočenju, 19. jula 1595, dok je na tabli crtao geometrijsku sliku, došao do zamisli koja mu je odredila život.

Zamisao je bila ova: zašto ima baš šest planeta i zašto su na baš tim rastojanjima? To je pitanje koje pre njega niko nije postavio ozbiljno. Kod Ptolemeja se nije ni moglo postaviti — rastojanja nisu bila određena. Kopernik ih je odredio, kao što smo videli u jedanaestom delu, i time napravio mesto za pitanje.

Keplerov odgovor bio je da između šest planetnih sfera stane tačno pet pravilnih poliedara — tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar, ikosaedar — jedan upisan između svake dve susedne sfere. Pravilnih poliedara ima tačno pet i to je dokazao još Euklid. Šest planeta, pet razmaka, pet tela. Slaganje je izgledalo kao otkrivena zamisao tvorca.

Objavio je to 1596. u knjizi Mysterium cosmographicum — „Kosmografska tajna". Slaganje sa stvarnim rastojanjima je pristojno za spoljne planete i loše za unutrašnje.

Ideja je potpuno pogrešna. Danas znamo da broj planeta nije određen nikakvom geometrijom i da ih nije šest. Ali knjiga je uradila dve stvari: donela mu je ugled među astronomima, uključujući Tiha Brahea, i — što je važnije — postavila zahtev koji ga nikad nije napustio. Kepler je tražio razlog za brojeve. Ne model koji ih reprodukuje, nego uzrok koji ih čini nužnim.

Ta upornost dovela ga je i do besmislice sa poliedrima i do tri zakona koji su promenili nauku. To je isti čovek i ista pobuda.

Prvi zaokret: fizika umesto geometrije

Kepler je u Prag stigao 1600. i dobio Mars, kao što smo videli. Ali pre nego što je počeo da računa, doneo je odluku koja ga odvaja od svih prethodnika.

Do tada je astronomija bila geometrija. Zadatak je bio naći sklop krugova koji daje tačne položaje. Pitanje zašto se planeta kreće nije bilo astronomsko pitanje.

Kepler je odlučio da traži uzrok. Njegova knjiga nosi podnaslov koji to izričito kaže: Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis — „Nova astronomija zasnovana na uzrocima, ili nebeska fizika". To je prvi put da neko astronomiju naziva fizikom.

Podstakla ga je jedna knjiga i jedno zapažanje.

Knjiga je bila De Magnete Vilijama Gilberta (William Gilbert), objavljena 1600, u kojoj je pokazano da je sama Zemlja magnet. Ta knjiga je obrađena u serijalu Istorija elektrotehnike. Kepler je iz nje uzeo ideju da tela mogu delovati jedno na drugo preko praznog prostora — što je posle nestanka kristalnih sfera, o čemu u prethodnom delu, postalo neophodno.

Zapažanje je bilo starije i svima poznato: što je planeta dalja od Sunca, to sporije obilazi. Merkur 88 dana, Saturn trideset godina. Za Kepler je to bio dokaz da Sunce nešto radi. Uzrok kretanja mora poticati odatle, i mora slabiti sa rastojanjem.

Njegova zamisao bila je da se iz Sunca širi nekakav uticaj — nazvao ga je species immateriata, netvarna vrsta — koji se okreće zajedno sa Suncem i gura planete ispred sebe, kao krak metle. Pošto se pri širenju razređuje, dalje planete gura slabije.

Ovo je pogrešno, i vredi tačno reći gde. Kepler misli da je za održavanje kretanja potrebna stalna sila koja gura u pravcu kretanja. To je aristotelovska pretpostavka: bez guranja, kretanje prestaje. Prava sila deluje ka Suncu, a ne u pravcu kretanja, i ne održava brzinu nego savija putanju; da nje nema, planeta bi odletela pravolinijski, ne stala. Za taj ispravak potreban je pojam inercije, koji u ovom trenutku priče ne postoji. Ali Keplerova pogrešna slika sadrži dve tačne stvari: da uzrok potiče iz Sunca i da slabi sa rastojanjem. To je bilo dovoljno da ga navede na prava pitanja.

Drugi zaokret: pravo Sunce

Setimo se iz jedanaestog dela: Kopernikov sistem, strogo govoreći, nije heliocentričan. Planete se odnose prema središtu Zemljine putanje, koje je pomereno od Sunca. Sunce stoji malo sa strane, kao svetiljka koja ništa ne radi.

Kepler je to odbacio odmah. Ako Sunce pokreće planete, onda sve mora biti mereno od Sunca, ne od neke prazne tačke u blizini.

Ta izmena deluje sitno. Ona je, u stvari, bila neophodan uslov za sve što sledi: bez nje se ne bi pojavila ni pravilnost u brzinama ni tačan oblik putanje.

Kako se meri putanja sa pokretne osmatračnice

Pre nego što je mogao išta da zaključi, Kepler je morao da reši zadatak koji izgleda nerešivo.

Sva posmatranja Marsa vršena su sa Zemlje, koja se i sama kreće. Iz njih se dobija samo pravac ka Marsu, ne i rastojanje. Da bi se odredila Marsova putanja, mora se prvo znati tačno gde je Zemlja u svakom trenutku. A da bi se odredila Zemljina putanja, treba imati nepomičnu tačku sa koje se posmatra — a nema je.

Keplerovo rešenje je jedno od najlepših u istoriji astronomije.

Korak 1. Mars obiđe Sunce za 687 dana. To je poznato iz sinodičkog perioda, kao što smo izveli u jedanaestom delu.

Korak 2. Uzmimo posmatranja Marsa razmaknuta tačno 687 dana. U oba trenutka Mars je na istom mestu u prostoru — vratio se tamo odakle je krenuo.

Korak 3. Ali Zemlja u tom razmaku nije na istom mestu. 687 dana je skoro dve godine, ali ne tačno dve — Zemlja je za oko 43 dana kratka do dva puna obilaska. Ona je, dakle, u ta dva trenutka na dva različita mesta svoje putanje.

Korak 4. Sada imamo trougao sa jednim nepokretnim temenom. Mars je u oba trenutka u istoj tački; Sunce je nepokretno. Iz izmerenih pravaca ka Marsu i ka Suncu u oba trenutka, geometrija daje položaj Zemlje u odnosu na Sunce, izražen u jedinicama rastojanja Sunce–Mars.

Korak 5. Ponovi se sa drugim parovima posmatranja, razmaknutim po 687 dana, iz Tihove građe. Svaki par daje jednu tačku Zemljine putanje.

Rezultat: Zemljina putanja, izmerena tačku po tačku. Mars je poslužio kao nepokretni oslonac za merenje Zemljine putanje.

Tek pošto je Zemljina putanja bila poznata, moglo se obrnuti: sada se iz posmatranja izračunava gde je Mars.

Drugi zakon — otkriven pre prvog

Merenje Zemljine putanje dalo je prvo neočekivano otkriće.

Ispostavilo se da se i Zemlja kreće nejednoliko — brže kad je bliža Suncu, sporije kad je dalja. Do tada se, čak i kod Kopernika, uzimalo da Zemlja ide ravnomerno.

Kepler je uporedio brojeve i našao pravilnost. U tački najmanjeg rastojanja od Sunca, koju zovemo perihel (grč. peri, oko, i hēlios, sunce), i u tački najvećeg rastojanja, afel, važilo je:

v₁ · r₁ = v₂ · r₂

• v₁, v₂ — brzine u perihelu i afelu
• r₁, r₂ — odgovarajuća rastojanja od Sunca

Brzina je, dakle, obrnuto srazmerna rastojanju — ali samo u te dve tačke, gde je kretanje upravno na pravac ka Suncu. Kepler je to isprva pogrešno uopštio na celu putanju; kasnije je uvideo grešku.

Tražeći način da pravilo važi svuda, došao je do oblika koji je tačan. Umesto brzine, posmatrao je površinu koju prebriše duž Sunce–planeta.

ΔA / Δt = stalno

• ΔA — površina koju duž od Sunca do planete prebriše za vreme Δt
• Δt — protekli vremenski razmak, u danima

Drugi Keplerov zakon: duž koja spaja Sunce i planetu prebriše jednake površine u jednakim vremenskim razmacima.

Blizu Sunca planeta ide brzo ali je duž kratka; daleko od Sunca ide sporo ali je duž duga. Površina po jedinici vremena ostaje ista.

Napomena o Keplerovom postupku: integralni račun ne postoji još sedamdeset godina. Kepler je površine dobijao sabiranjem — delio je putanju na velik broj uskih isečaka i sabirao ih pojedinačno, mukotrpno, rukom. Sam je bio svestan da je postupak matematički neopravdan i u knjizi to priznaje. Ispostaviće se da je bio tačan; Njutn će ga izvesti strogo.

Zapamti ovo

Drugi Keplerov zakon (zakon površina): duž Sunce–planeta prebriše jednake površine u jednakim vremenima.

Ovim je konačno uklonjen ekvant — Ptolemejeva sprava iz devetog dela, koja je promenu brzine oponašala pomoćnom tačkom. Kepler daje pravilo koje kaže koliko se brzina menja, i to iz samog rastojanja od Sunca, bez ijedne izmišljene tačke.

Osam minuta

Sa zakonom površina u ruci, Kepler se vratio na Mars. Napravio je model u kome se Mars kreće po krugu, sa Suncem van središta, a brzina se menja po zakonu površina.

Model je bio dobar. Slagao se sa posmatranim dužinama — položajima Marsa duž ekliptike — izvrsno.

Ali kad je proverio drugačiju vrstu podatka, tačnije položaje u dva određena dela putanje, pojavilo se odstupanje od osam lučnih minuta. I to sistematsko, ne slučajno: model je Marsa smeštao predaleko od Sunca u delovima putanje između perihela i afela.

Kepler je taj model u knjizi naziva hipotezom namesnicom i posvećuje mu poglavlja koja se čitaju kao dnevnik poraza. Odbacio ga je i počeo iznova.

Ovalna godina

Ako putanja nije krug, šta je?

Kepler je iz podataka utvrdio da je stvarna putanja uvučena sa strane u odnosu na krug — negde između kruga i nečega spljoštenog. Pokušao je najpre sa jajolikom krivom, ovalom sličnom jajetu.

Ta godina računa bila je uzaludna. Ovalna kriva se nije dala matematički obraditi, površine se nisu mogle izračunati, a slaganje je bilo osrednje.

Onda je izmerio koliko tačno putanja odstupa od kruga. Na najširem mestu, razlika između kruga i stvarne putanje iznosila je 0,00429 poluprečnika.

Nešto kasnije, radeći sa uglovima, naišao je na broj koji je proizlazio iz najvećeg ugla pod kojim se Mars vidi sa strane. Vrednost sekansa tog ugla — dakle prevrnute vrednosti kosinusa — bila je 1,00429.

Isti broj. Kepler u knjizi opisuje taj trenutak kao buđenje iz sna.

Iz tog poklapanja izveo je vezu koja je putanju odredila potpuno. A kad je zapisao dobijeni oblik i pogledao ga, ispostavilo se da je to kriva koju su Grci proučavali osamnaest vekova ranije, a koju je najtemeljnije obradio Apolonije iz Perge — isti onaj koji je, kao što smo videli u osmom delu, dokazao jednakost ekscentra i epicikla.

Bila je to elipsa.

Kepler je o tome napisao, sa gorčinom, da je elipsu isprva odbacio kao suviše prostu i da mu se činilo nemogućim da su je raniji geometri prevideli — pa je zaključio da je, tražeći zaobilaznim putem, samo stigao do vrata kroz koja je mogao odmah ući.

Matematika: šta je elipsa

Elipsa je kriva sa dve istaknute tačke, koje se zovu žiže (lat. focus, ognjište). Definicija glasi: to je skup svih tačaka za koje je zbir rastojanja do dve žiže stalan.

Praktično: ako se u dve tačke zabodu ekseri, između njih razapne konac i olovkom se povlači tako da konac ostane zategnut, nacrtana kriva je elipsa.

Označimo:

• a — velika poluosa, polovina najdužeg prečnika
• b — mala poluosa, polovina najkraćeg prečnika
• c — rastojanje od središta do svake žiže
• e — ekscentričnost, mera spljoštenosti, bez jedinice

Korak 1. Veza između poluosa i položaja žiže:

c² = a² − b²

iz Pitagorine teoreme primenjene na tačku na kraju male ose

Korak 2. Ekscentričnost se definiše kao:

e = c / a

udeo pomeraja žiže u velikoj poluosi; za krug je e = 0

Korak 3. Najmanje i najveće rastojanje od žiže:

r_min = a(1 − e)  ·  r_max = a(1 + e)

perihel i afel, izraženi preko velike poluose

Prvi Keplerov zakon: planeta se kreće po elipsi, a Sunce se nalazi u jednoj njenoj žiži. U drugoj žiži nema ničega.

Zašto to niko nije primetio ranije

Ovde je nešto što izgleda kao paradoks. Ako su putanje elipse, zašto su krugovi radili hiljadama godina?

Odgovor je u brojevima. Marsova ekscentričnost iznosi 0,0934, što je od svih dobro merljivih planeta najviše — i upravo zato je Kepler i uspeo, jer mu je Tiho dodelio baš Mars.

Izračunajmo koliko je Marsova elipsa spljoštena. Iz veze b² = a² − c² sledi:

b / a = √(1 − e²) = √(1 − 0,00872) = 0,99563

odnos male i velike poluose za Mars

Marsova putanja se od kruga razlikuje za manje od pola procenta. Nacrtana na papiru, od kruga se ne razlikuje golim okom.

Ono što se razlikuje, i to znatno, jeste položaj Sunca. Sunce je pomereno od središta za c = e·a, dakle za skoro deset procenata velike poluose. To je pomeraj koji se odmah vidi.

Zato su ekscentar i ekvant tako dobro radili. Oni su ispravljali upravo taj pomeraj — tačno onaj deo pojave koji je krupan — a zanemarivali spljoštenost, koja je sitna. Ptolemejev sistem je hvatao veliki efekat i promašivao mali. Da bi se video mali, trebalo je merenje tačnije od dva lučna minuta, kakvo pre Tiha nije postojalo.

Za Zemlju je ekscentričnost svega 0,0167, a za Veneru 0,0068 — praktično krug. Da je Kepleru dodeljena Venera, ne bi otkrio ništa.

Šta je time uklonjeno

Vredi napraviti spisak, jer je duži nego što izgleda.

Epicikl — nestaje. Nije potreban; retrogradnost je već objašnjena Zemljinim kretanjem, a preostale nepravilnosti objašnjava elipsa.

Deferent — nestaje.

Ekscentar — nestaje. Sunce nije pomereno od središta kruga; ono je u žiži elipse, i to je svojstvo same krive.

Ekvant — nestaje. Zamenjen zakonom površina.

Pravilo o jednolikim kružnim kretanjima — nestaje. Ono je vladalo od Platonove škole, dakle od četvrtog veka pre nove ere, kao što smo videli u petom delu. Dve hiljade godina.

Ostaju dva pravila i nijedna pomoćna konstrukcija. Umesto naprave koja se podešava, dobijen je zakon koji važi.

Knjiga koju niko nije čitao

Astronomia nova objavljena je 1609. u Hajdelbergu, posle spora sa Tihovim naslednicima koji su tražili pravo nadzora nad onim što se objavljuje iz očevih podataka.

Knjiga je bila neuspeh. Razloga je nekoliko.

Napisana je kao izveštaj o istraživanju, sa svim slepim ulicama, odbačenim modelima i priznanjima o greškama. To je danas vrlina; tada je bilo neuobičajeno i teško za čitanje. Kepler sam upozorava čitaoca da će biti iscrpljen.

Zakoni nisu istaknuti kao zakoni. Nisu numerisani, nisu izdvojeni, nisu formulisani sažeto — nalaze se rasuti kroz poglavlja o Marsu. Numeraciju „prvi, drugi, treći Keplerov zakon" uveo je tek Volter, u osamnaestom veku.

Rezultat je izveden samo za Mars. Kepler tvrdi da važi za sve planete, ali to nije pokazao.

I najvažnije: eliptične putanje su vređale ukus. Elipsa nema jednu istaknutu tačku nego dve, i to jednu praznu. Zašto bi svet bio tako uređen?

Galilej Keplerove zakone nikad nije prihvatio, iako su se dopisivali i iako je Kepler javno podržao njegova otkrića. Galilej je do kraja života koristio krugove. Ni Dekart ih nije prihvatio. Prihvatanje je došlo tek pošto je Njutn pokazao da elipse slede iz zakona sile — dakle sedamdeset osam godina kasnije.

Šta je ovo promenilo

Astronomija je postala fizika. Do Keplera je pitanje bilo „koji sklop krugova daje tačne brojeve". Od Keplera je pitanje „koji uzrok proizvodi ovo kretanje". Njegov odgovor na to pitanje bio je pogrešan, ali je pitanje ostalo.

Model je zamenjen zakonom. Ptolemejev sistem je bio naprava sa podesivim delovima; svaka planeta je imala svoje parametre koji se biraju prema posmatranju. Keplerova pravila nemaju podesive delove — kažu šta se dešava, a brojevi za pojedinu planetu su ono što se meri, ne što se namešta.

Merna tačnost je postala odlučujuća. Ceo ovaj rezultat visi o osam lučnih minuta. Da su Tihovi podaci bili za nijansu lošiji, Kepler bi zadržao krug i bio bi zadovoljan. Ovo je najčistiji primer u istoriji nauke da tačnost merenja odlučuje o slici sveta.

Ostalo je otvoreno pitanje. Kepler je opisao kako se planeta kreće po svojoj putanji. Nije objasnio ni zašto je putanja elipsa, ni zašto Sunce stoji baš u žiži, ni šta uopšte drži planetu na putanji sada kad sfera više nema.

A jedno pitanje iz njegove mladosti i dalje je stajalo neodgovoreno: zašto su planete baš na tim rastojanjima i zašto obilaze baš toliko dugo? Poliedri su bili odgovor koji nije valjao. Ali veza između rastojanja i vremena obilaska bila je očigledna — dalje planete idu sporije, i to nekako pravilno.

Kepler ju je tražio još deset godina, u godinama tridesetogodišnjeg rata, dok je branio majku od optužbe za veštičarenje. Našao ju je 15. maja 1618, izgubio je zbog računske greške, pa je ponovo našao 8. marta 1619 — i zapisao datum, što inače nije radio.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.