Principia — jedan zakon za nebo i Zemlju

Istorija astronomije

Deo 17 · Kembridž i London, 1684–1687.

Halej je iz Kembridža otišao sa devet strana rukopisa i uverenjem da drži nešto čemu nema ravnog. Nagovorio je Njutna da razradi. Razrada je trajala osamnaest meseci i narasla u tri toma.

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica — „Matematička načela prirodne filozofije" — izašla je 5. jula 1687. Kraljevsko društvo je pristalo da je objavi, pa se ispostavilo da nema novca: prethodni izdavački poduhvat, ilustrovana knjiga o ribama, prodavao se katastrofalno i ispraznio blagajnu. Halej je štampu platio iz sopstvenog džepa. Bio je službenik Društva sa skromnom platom; jedno vreme su mu platu isplaćivali u neprodatim primercima knjige o ribama.

Bez Haleja knjige ne bi bilo. On je postavio pitanje, on je nagovorio pisca, on je platio štampu, on je čitao korekture i on je smirivao Njutna kad je ovaj, usred spora sa Hukom, zapretio da neće objaviti treći tom.

Kako je knjiga napisana

Ovde odmah jedna napomena koja iznenađuje.

Njutn je dvadeset godina ranije izmislio račun sa veličinama koje se neprekidno menjaju — ono što danas zovemo diferencijalnim i integralnim računom, a on je zvao metodom fluksija. Nije ga objavio. Spor sa Lajbnicom oko prvenstva izbiće kasnije i biće jedan od najružnijih u istoriji nauke.

Ali Principia nije napisana tim računom. Napisana je u obliku klasičnih geometrijskih dokaza, sa figurama, u stilu Euklidovih Elemenata. Njutn je rezultate nalazio jednim putem, a izlagao ih drugim — verovatno zato što je geometrijski dokaz tada bio jedini oblik koji je imao neosporan ugled.

Posledica je da je knjiga izuzetno teška za čitanje, i bila je takva i savremenicima. Priča se da je jedan student u Kembridžu, videvši Njutna kako prolazi, rekao: eno čoveka koji je napisao knjigu koju ni on ni bilo ko drugi ne razume. Anegdota je verovatno uglačana, ali dobro pogađa stanje stvari.

Tri zakona kretanja

Knjiga počinje definicijama i sa tri stava koje Njutn naziva aksiomima ili zakonima kretanja. Prva dva smo, u nepotpunom obliku, već uveli u prethodnom delu; ovde ih navodim onako kako ih on postavlja.

Prvi zakon. Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja dok ga primenjena sila ne prinudi da to stanje promeni. To je inercija, u Dekartovom obliku.

Drugi zakon. Promena kretanja srazmerna je sili koja deluje i ima pravac te sile. U savremenom zapisu F = m·a, kako smo napisali u prethodnom delu.

Treći zakon. Svakom dejstvu odgovara jednako i suprotno protivdejstvo.

Treći zakon je za astronomiju važniji nego što izgleda i vratićemo mu se, jer iz njega sledi da Sunce ne miruje.

Zakon opšte gravitacije

U trećem tomu Njutn postavlja tvrdnju koja je jezgro cele knjige.

Svaka dva tela u svemiru privlače se silom koja je srazmerna proizvodu njihovih masa i obrnuto srazmerna kvadratu rastojanja između njih.

F ∝ m₁m₂ / r²

• F — sila privlačenja, u njutnima (N)
• m₁, m₂ — mase dva tela, u kilogramima (kg)
• r — rastojanje između njihovih središta, u metrima (m)
• ∝ — znak srazmernosti

Zašto stoji znak srazmernosti a ne jednakosti. Da bi se pisala jednakost, potreban je množilac koji povezuje mase i rastojanja sa silom. Taj množilac danas zovemo gravitacionom konstantom. Njutn ga nije znao i nije ga ni pisao — njegov zakon je tvrdnja o srazmeri, ne o brojnoj vrednosti. Konstanta je prvi put izmerena 1798, ogledom sa torzionom vagom, i tek je tada postalo moguće izračunati masu Zemlje u jedinicama kojima merimo teret. Tim ogledom ćemo se baviti kad na njega dođe red; do tada ovaj zakon koristimo isključivo u obliku odnosa.

Reč opšta u nazivu nosi celu težinu tvrdnje. Ne privlači Sunce planete nekom posebnom nebeskom silom. Privlače se sva tela: Sunce i Zemlja, Zemlja i kamen, Jupiter i njegovi sateliti, Jupiter i Saturn, dva kamena na stolu. Razlika je samo u masama.

Njutn je najpre morao da dokaže nešto što se obično prećuti: da se lopta ravnomerne gustine privlači kao da joj je sva masa skupljena u središtu. Bez tog dokaza nema smisla pisati rastojanje između Zemlje i jabuke, jer su delovi Zemlje na vrlo različitim rastojanjima. Njutn to dokazuje geometrijski i sam navodi da ga je taj rezultat iznenadio.

Elipsa, konačno

Prvo što je iz zakona izvedeno je ono što je Halej i pitao.

Njutn dokazuje oba smera. Ako se telo kreće po elipsi sa silom usmerenom ka jednoj žiži, ta sila mora opadati sa kvadratom rastojanja. I obrnuto: ako sila opada sa kvadratom rastojanja, putanja je konusni presek — elipsa, parabola ili hiperbola, zavisno od početne brzine.

Time su sva tri Keplerova zakona prestala da budu izmerene pravilnosti i postala posledice:

• Prvi zakon (elipsa sa Suncem u žiži) sledi iz oblika sile.
• Drugi zakon (jednake površine u jednakim vremenima) sledi iz same činjenice da je sila usmerena ka jednoj tački, bez obzira kako opada. To je snažniji rezultat nego što je Kepler mogao da sanja.
• Treći zakon (T²/a³ stalno) sledi iz obrnutog kvadrata, kako smo izveli u prethodnom delu.

Sedamdeset osam godina posle Astronomiae novae, Keplerova pravila su dobila razlog.

Merenje mase nebeskog tela

Sada dolazi rezultat koji je za astronomiju bio potpuno nov: iz kretanja satelita može se odrediti masa tela oko koga kruži.

Do tada niko nije ni pomišljao da se masa nečega na nebu može izmeriti. Merile su se udaljenosti, veličine, periodi. Masa je bila nedostupna.

Izvedimo postupak. Neka telo mase M ima satelit koji ga obilazi po krugu poluprečnika r za vreme T. Masa satelita neka je zanemarljiva prema M.

Korak 1. Sila koja drži satelit jednaka je masi satelita puta njegovo ubrzanje:

m · (4π²r/T²) ∝ M·m/r²

levo drugi zakon sa centripetalnim ubrzanjem, desno zakon gravitacije

Korak 2. Masa satelita m se skraćuje sa obe strane:

4π²r/T² ∝ M/r²

skraćeno

Napomena: ovo skraćivanje sadrži tvrdnju koja nije očigledna — da masa koja meri opiranje promeni kretanja i masa koja stvara privlačenje imaju istu vrednost. Njutn je to proverio ogledima sa klatnima različitih materijala. Zbog toga sva tela padaju istim ubrzanjem, bez obzira na težinu.

Korak 3. Odatle sledi da je masa srazmerna izrazu koji sadrži samo merljive veličine:

M ∝ r³ / T²

poluprečnik na treći podeljen kvadratom perioda

Korak 4. Pošto je množilac isti za sve, odnos masa dva tela dobija se prostim deljenjem. Uzmimo Jupiter i Sunce. Za Jupiter koristimo satelit Kalisto: r = 0,01259 jedinica rastojanja Zemlja–Sunce, T = 16,69 dana = 0,0457 godina. Za Sunce koristimo Zemlju: r = 1, T = 1.

M_J/M_S = (0,01259³/0,0457²) / (1³/1²)

uvršteni podaci za Kalisto i za Zemlju

= 1,995·10⁻⁶ / 2,088·10⁻³ = 9,55·10⁻⁴ ≈ 1/1047

izračunato; Jupiter ima oko hiljaditi deo Sunčeve mase

Savremena vrednost je 1/1047. Njutn je u Principiji dao 1/1067 — razlika potiče od tada nesigurnog rastojanja Zemlja–Sunce.

Isto je uradio za Saturn (preko satelita Titana, koga je Hajgens otkrio 1655) i za Zemlju (preko Meseca). Dobio je poredak koji je bio potpuno neočekivan: Sunce je hiljadama puta masivnije od bilo koje planete, Jupiter i Saturn su daleko masivniji od Zemlje, a Zemlja je sitna.

Za Merkur, Veneru i Mars nije mogao ništa — nemaju satelite. Njihove mase su određene tek u devetnaestom veku, iz uticaja koji vrše na druga tela.

Zapamti ovo

Masa nebeskog tela se meri kretanjem onoga što oko njega kruži. Iz poluprečnika i perioda satelita sledi masa središnjeg tela, po odnosu M ∝ r³/T².

Telo bez satelita ne otkriva svoju masu. Zato su mase Merkura, Venere i Marsa dugo ostale nepoznate.

Sunce se pomera

Iz trećeg zakona kretanja sledi nešto što je Kopernikov sistem, strogo uzev, oborilo.

Ako Sunce privlači Zemlju, Zemlja jednakom silom privlači Sunce. Sunce, dakle, ne miruje. Oba tela kruže oko zajedničke tačke, koju zovemo središte mase sistema, a ona se nalazi bliže masivnijem telu.

Za sistem Sunce–Zemlja to središte je duboko unutar Sunca i pomeraj je neprimetan. Ali kad se uzmu sve planete, a naročito Jupiter i Saturn, središte mase Sunčevog sistema ponekad izađe izvan Sunčeve površine.

Njutn to izričito navodi. Ni Sunce nije nepokretno središte sveta. Nepokretno je samo središte mase celog sistema — apstraktna tačka u kojoj ničega nema.

Zemlja nije lopta

Sledeći rezultat je bio proveriv i izazvao je pravi naučni rat.

Njutn je zaključio: pošto se Zemlja okreće, materija na ekvatoru ima potrebu za većim skretanjem ka osi nego materija blizu polova. Posledica je da je Zemlja spljoštena na polovima i ispupčena na ekvatoru — oblik koji zovemo spljoštenim sferoidom.

Njegov račun dao je da je ekvatorski prečnik veći od polarnog za oko jedan deo u 230. Savremena vrednost je jedan deo u 298; Njutn je pretpostavio ravnomernu gustinu, a Zemlja je gušća u jezgru.

Spor je nastao odmah. U Francuskoj su Đovani Domeniko Kasini (Giovanni Domenico Cassini) i njegov sin Žak, merenjem meridijanskih lukova, dobili suprotan rezultat — da je Zemlja izdužena ka polovima, kao jaje. Nastala je duga i žučna rasprava, delom i nacionalna: engleska nauka protiv francuske.

Rešenje je bilo merenje. Francuska akademija je 1735. poslala dve ekspedicije da izmere dužinu jednog stepena meridijana na krajnjim širinama. Jedna je pod Pjerom Luj Mopertijem (Pierre Louis Maupertuis) otišla u Laponiju, blizu polarnog kruga; druga pod Šarlom Mari de la Kondaminom (Charles Marie de La Condamine) u Peru, na ekvator. Perujska ekspedicija provela je na terenu deset godina, u vrlo teškim uslovima.

Rezultat, objavljen 1737. i potvrđen kasnije: stepen meridijana je duži blizu pola nego na ekvatoru, dakle Zemlja je spljoštena. Njutn je bio u pravu.

Napomena zašto je duži stepen znak spljoštenosti: gde je površina manje zakrivljena, treba preći duži put da bi se pravac ka polu promenio za isti ugao. Spljošten kraj je manje zakrivljen.

Plima i oseka

Uzrok plime bio je stara zagonetka. Veza sa Mesecom bila je očigledna svakom pomorcu — plima kasni svakog dana za oko pedeset minuta, tačno koliko i Mesečev izlazak. Ali mehanizam nije bio poznat.

Kepler je pretpostavljao da Mesec privlači vodu i bio je na dobrom tragu. Galilej je tu vezu odbacio kao praznoverje i ponudio sopstveno objašnjenje — da je plima posledica pljuskanja vode zbog složenog kretanja Zemlje — koje je bilo pogrešno. Njemu je to objašnjenje bilo važno jer ga je smatrao dokazom Zemljinog kretanja, i uneo ga je u knjigu zbog koje mu je 1633. suđeno.

Njutnovo objašnjenje polazi od jedne suptilnosti. Nije važno koliko Mesec privlači vodu, nego koliko je privlači jače ili slabije nego što privlači Zemlju kao celinu.

Voda na strani okrenutoj Mesecu bliža je Mesecu od središta Zemlje, pa je privučena jače — izdiže se ka Mesecu. Voda na suprotnoj strani dalja je od Meseca od središta, pa je privučena slabije — zaostaje, dakle izdiže se od Meseca. Zemlja se, u izvesnom smislu, izvuče ispod nje.

Rezultat su dva ispupčenja, na suprotnim stranama, kroz koja Zemlja rotira. Otuda dve plime dnevno, a ne jedna — što je bila glavna činjenica koju nijedno ranije objašnjenje nije pogađalo.

Njutn je pokazao i da Sunce doprinosi isto tako, ali slabije, i da se pri poklapanju pravaca dobija naročito velika plima o mladom i punom Mesecu. Slaganje sa iskustvom pomoraca bilo je potpuno.

Zašto Sunce daje slabiju plimu iako je mnogo masivnije. Plimu ne pravi sila nego njena razlika preko prečnika Zemlje. Ta razlika opada mnogo brže od same sile — sa trećim stepenom rastojanja umesto sa drugim. Sunce je oko 27 miliona puta masivnije od Meseca, ali je i oko 390 puta dalje. Pošto 390 na treći iznosi oko 59 miliona, plimski uticaj Sunca ispada otprilike upola manji od Mesečevog. Slaganje sa merenjem je dobro.

Dug prema Hiparhu

Sada dolazi rezultat koji zatvara krug otvoren u osmom delu.

Hiparh je oko 129. godine pre nove ere, upoređujući svoja merenja sa Timoharisovim, otkrio da prolećna tačka klizi duž ekliptike — precesiju ravnodnevica, pun krug za oko dvadeset šest hiljada godina. Osamnaest vekova niko nije imao ni nagoveštaj zašto se to dešava. Bila je to pojava koja se meri, opisuje i uračunava, ali ne razume.

Njutn je spojio dva sopstvena rezultata i objasnio je.

Korak 1. Zemlja nije lopta nego ima ekvatorsko ispupčenje — to je upravo pokazano.

Korak 2. Zemljina osa je nagnuta prema ekliptici za 23,4 stepena, kako smo uveli još u prvom delu. Zbog tog nagiba, ispupčenje ne leži u ravni u kojoj su Sunce i Mesec.

Korak 3. Sunce i Mesec privlače bliži deo ispupčenja jače nego dalji. Ta razlika teži da uspravi osu, odnosno da poravna ispupčenje sa ravni ekliptike.

Korak 4. Ali Zemlja se okreće. Telo koje se brzo okreće ne popušta pod takvim delovanjem tako što se prevrne, nego tako što mu osa opiše kupu, upravno na pravac delovanja. Isto se vidi kod dečje čigre koja se naginje: ne pada, nego joj se osa polako obrće ukrug.

Zaključak: Zemljina osa polako opisuje kupu, i to je precesija. Pun obrt traje oko 26 000 godina. Njutn je izračunao i brojnu vrednost i dobio red veličine tačno, mada ne i tačan broj — njegova procena odnosa masa Meseca i Zemlje bila je pogrešna.

Dodatna posledica, koju je Njutn takođe naveo: pošto oko dve trećine efekta potiče od Meseca a trećina od Sunca, a Mesečeva putanja se sama polako pomera, na precesiju se nadovezuje sitno njihanje. Ono je izmereno 1748. i zove se nutacija.

Ovo je, po mom sudu, najlepši rezultat u knjizi. Pojava izmerena osamnaest vekova ranije, na osnovu vavilonskih i grčkih zapisa, objašnjena je iz oblika Zemlje i jednog jedinog zakona sile. Nijedna nova pretpostavka nije bila potrebna.

Ono što nije rešeno

Njutn je bio pošten prema granicama svog rezultata i vredi ih navesti.

Problem tri tela. Dva tela koja se privlače rešavaju se tačno. Tri se ne mogu. Čim se uz Sunce i planetu uzme u obzir i treće telo, jednačine se ne daju rešiti u zatvorenom obliku. Njutn je znao da Jupiter i Saturn uzajamno remete svoje putanje i da to nije sitnica.

Mesečevo kretanje. Mesec je pod približno jednakim uticajem Zemlje i Sunca, pa je njegovo kretanje najteži slučaj problema tri tela u Sunčevom sistemu. Njutn je na tome radio godinama i navodno rekao Haleju da mu je to jedino pitanje od kog ga je glava zabolela. Rešenje je bilo delimično; pun račun daće tek Ojler, Klero i Dalamber sredinom osamnaestog veka.

Šta je gravitacija. Njutn je opisao kako deluje, ne šta jeste. Delovanje na daljinu, kroz prazan prostor, bez ikakvog posrednika, savremenicima je zvučalo kao povratak skrivenim svojstvima srednjovekovne filozofije. Dekartovci su to napadali oštro.

Njutn je u drugom izdanju odgovorio čuvenom rečenicom — u parafrazi: uzrok gravitacije nije uspeo da izvede iz pojava, a hipoteze ne izmišlja. Dovoljno je, kaže, da gravitacija zaista deluje po opisanim zakonima i da objašnjava sva kretanja nebeskih tela i mora.

To je izjava o metodu, i to važna. Nauka sme da opiše pojavu tačno i da ostavi njeno poreklo otvorenim. Pitanje šta je gravitacija ostaće otvoreno do dvadesetog veka.

Spor sa Hukom

Kad je čuo šta se sprema, Huk je zatražio da ga Njutn u knjizi pomene kao onoga ko je prvi izneo pretpostavku o obrnutom kvadratu. Kao što smo videli u prethodnom delu, ta tvrdnja nije neosnovana — Huk mu je to napisao u pismu 1680.

Njutn je pobesneo. Prošao je kroz rukopis i uklonio pomene Hukovog imena gde god je mogao. Haleju je napisao da matematičari koji sve otkrivaju, ustanovljuju i dokazuju moraju da se zadovolje time da budu suvoparni računari, dok drugi, koji ništa ne dokazuju nego samo tvrde, odnose sve zasluge.

Sud je, po mom mišljenju, ovakav: Huk je imao ispravnu pretpostavku i nije imao dokaz, a bez dokaza da iz obrnutog kvadrata sledi elipsa cela stvar ostaje nagađanje. Njutnov doprinos nije bio u pretpostavci nego u tome što je od nje napravio sistem. Ali njegovo ponašanje prema Huku, i kasnije prema Lajbnicu i Flamstidu, ostaje ono što jeste.

Šta je ovo promenilo

Nebo i Zemlja su postali jedna oblast. Ista jednačina opisuje pad kamena, plimu, oblik planete, putanju Meseca i kretanje Saturna. Podela koja je vladala od Aristotela, i koju su nagrizali Tiho, Galilej i Kepler, prestala je da postoji.

Astronomija je prestala da opisuje i počela da izvodi. Kepler je iz podataka izvukao tri pravila. Njutn je iz jednog zakona izveo ta pravila, i uz njih pet-šest pojava koje sa njima nemaju očiglednu vezu. To je razlika između pravilnosti i teorije.

Pojavila se mogućnost predviđanja onoga što nije viđeno. Ako zakon važi svuda, onda se iz njega može izračunati i ono što još nije posmatrano. To će u sledećim vekovima dati dve velike potvrde i jedan poučan neuspeh.

Prvu potvrdu izneo je čovek koji je knjigu platio.

Halej je uzeo Njutnov metod i primenio ga na tela za koja se dve hiljade godina verovalo da su nepredvidiva — na komete. One su se pojavljivale bez najave, prelazile nebo i nestajale, i još od Tihovog merenja iz 1577. znalo se samo da su daleko od Zemlje. Halej je izračunao putanje dvadeset četiri komete iz istorijskih zapisa, primetio da tri od njih sumnjivo liče jedna na drugu, i izveo zaključak koji se mogao proveriti samo posle njegove smrti.

Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.