Sinus, sfera i sprava koja pravi pravu liniju
Ptolemejeva knjiga je bila potpuna, tačna i zatvorena. Iz nje nije sledilo nikakvo pitanje — samo postupak. To je najgore stanje u kome jedna nauka može da bude: kad sve radi, niko ne pita zašto.
U Evropi je zatim, u nekoliko vekova posle pada Zapadnog carstva, nestalo i znanje kako se knjiga koristi. Grčki se prestao učiti, Almagest se nije prevodio, a astronomija se svela na uputstva za računanje datuma Uskrsa.
Nastavak priče odvija se drugde — u Indiji, pa u ogromnom prostoru od Španije do Srednje Azije. To razdoblje se u popularnim prikazima obično opiše u jednoj rečenici: „Arapi su sačuvali grčko nasleđe." To je netačno na dva načina. Nisu bili samo Arapi — bilo je Persijanaca, Jevreja, sirijskih hrišćana, Indijaca. I nisu samo sačuvali: napravili su alat kojim se Ptolemej mogao proveriti, proverili ga, i našli greške koje je bilo nemoguće zakrpiti.
Indija: polovina tetive
Arjabhata (476–550) napisao je 499. godine, u dvadeset trećoj godini, delo Arjabhatija — 121 stih u kojima su sažeti aritmetika, algebra, trigonometrija i astronomija. Pisano je u stihu jer se učilo napamet.
U tom delu nalazi se korak koji je izgledao kao sitnica, a promenio je matematiku.
Setimo se Hiparhove tetive iz osmog dela: duž koja spaja krajeve luka. Indijski matematičari su primetili da je u računu skoro uvek zgodnije raditi sa polovinom tetive polovine ugla nego sa celom tetivom.
Razlog je praktičan. Kad se u krugu povuče poluprečnik do kraja luka i spusti normala na prečnik, dobija se pravougli trougao — a polovina tetive je upravo jedna njegova kateta. Ceo račun se svodi na pravougle trouglove, umesto na tetive koje ne pripadaju nijednom.
Tu polovinu tetive nazvali su ardha-džja (ardha-jyā, „polutetiva"), pa skraćeno džja (jyā, doslovno „tetiva luka", u smislu strune na luku za odapinjanje strela).
Odnos prema Hiparhovoj tetivi je:
Ovo je ono što danas zovemo sinus. Arjabhata je dao tablicu njegovih vrednosti za dvadeset četiri ugla, u koracima od 3°45′, za poluprečnik od 3438 jedinica — istu vrednost koju je koristio Hiparh, i iz istog razloga: tako je luk u lučnim minutima brojčano jednak samom sebi.
Odakle reč „sinus". Arapski prevodioci su džja preneli fonetski, kao džajb (jayb). U arapskom pismu se kratki samoglasnici ne pišu, pa je isti niz slova mogao da se pročita i kao postojeća arapska reč džajb — nedra, uvala, džep. Kad je Gerardo iz Kremone u dvanaestom veku prevodio na latinski, preveo je značenje te reči: sinus, što na latinskom takođe znači uvala ili nabor odeće. Naziv koji danas koristimo u celoj matematici, dakle, nastao je iz pogrešnog čitanja jedne sanskritske reči. Tetiva u njemu nije ostala ni u tragu.
Arjabhata je izneo i tvrdnju koja je bila neuobičajena i osporavana: da se Zemlja okreće oko svoje ose, i da otuda prividno dnevno kretanje neba. Poredi to sa čovekom u čamcu koji vidi obalu kako izmiče. Nije, međutim, tvrdio da Zemlja putuje oko Sunca; njegov sistem ostaje geocentričan. Brahmagupta (598–668) je tu ideju o obrtanju izričito odbacio, argumentom sličnim Ptolemejevom: ako se Zemlja okreće, sve što nije pričvršćeno moralo bi da zaostane.
Bagdad: zašto je nekome trebala astronomija
Kalif Al-Mansur osnovao je Bagdad 762. godine; njegovi naslednici, naročito Al-Mamun (vladao 813–833), pokrenuli su prevodilački poduhvat bez presedana. Središte je bilo Bejt al-Hikma — Kuća mudrosti. Almagest je preveden na arapski u više navrata, prvi put oko 827. godine, i tada je dobio ime pod kojim ga i danas znamo.
Kao i uvek u ovoj priči, iza toga stoje vrlo praktični razlozi.
- Kibla — pravac ka Meki, potreban za molitvu i za orijentaciju džamije. To nije prosto „ka jugoistoku": traži se najkraći pravac po sferi, dakle rešavanje sfernog trougla čija su temena posmatrač, Meka i severni pol. Zadatak je matematički ozbiljan i mora se rešiti za svako mesto u carstvu koje se prostiralo od Španije do Indije.
- Vremena molitvi — određena visinom Sunca i dužinom senke, dakle drugačija za svaki dan i svako mesto.
- Kalendar — islamski kalendar je čisto lunarni, a početak meseca vezan za prvo viđenje mladog Meseca. Predvideti da li će se tanak srp uveče videti sa datog mesta je težak astronomski zadatak.
Ta tri zahteva vodila su pravo u sfernu trigonometriju, i tu je napravljen najveći doprinos.
Matematika: trougao na lopti
Do sada smo u ovom serijalu koristili samo trouglove u ravni. Ali položaji na nebu i na Zemlji leže na sferi, a tamo trouglove čine lukovi velikih krugova — krugova čije središte je središte sfere.
Takav trougao se ponaša drugačije. Zbir uglova mu je veći od 180 stepeni. Njegove stranice se ne mere dužinom nego uglom koji zaklapaju gledane iz središta.
Označimo: stranice a, b, c (u stepenima), a naspramne uglove A, B, C.
Sinusna teorema za sferu glasi:
Nju su nezavisno formulisali Abu al-Vafa (940–998) i Abu Nasr Mansur (oko 960–1036) krajem desetog veka. Ptolemej je iste zadatke rešavao mnogo zaobilaznije, preko takozvane Menelajeve teoreme o četiri veličine, uz komplikovano nameštanje pomoćnih lukova.
Kosinusna teorema za sferu, koja daje stranicu iz dve druge i ugla među njima:
- a, b, c — stranice sfernog trougla, izražene u stepenima
- A, B, C — uglovi trougla, u stepenima
Napomena: savremeni zapis je naš. Tadašnji matematičari su ove odnose iskazivali rečima i geometrijskim konstrukcijama, a računali pomoću tablica sinusa; algebarska notacija sa slovima nastaje tek u šesnaestom veku.
Sada se možemo vratiti na obećanje iz prvog dela — vezu između geografske širine i toga koliko Sunce „šeta" po horizontu.
Korak 1. Uzmimo sferni trougao čija su temena severni nebeski pol, zenit posmatrača i Sunce.
Korak 2. Stranica od pola do zenita iznosi 90° − φ, gde je φ geografska širina — to smo izveli u četvrtom delu. Stranica od pola do Sunca iznosi 90° − δ, gde je δ deklinacija Sunca, njegova ugaona udaljenost od nebeskog ekvatora. Treća stranica, zenit–Sunce, iznosi 90° u trenutku izlaska, jer je Sunce tada na horizontu.
Korak 3. Primenimo kosinusnu teoremu na tu treću stranicu, sa uglom A kod pola:
Korak 4. Pošto je cos 90° = 0, a cos(90°−x) = sin x i sin(90°−x) = cos x:
Korak 5. Izrazimo cos A:
Ugao A je polovina dužine obdanice, izražena u stepenima; deljenjem sa 15 dobija se u satima, jer nebo pređe 15 stepeni na sat.
Provera na Beogradu, φ ≈ 44,8°, o letnjem solsticiju kad je δ = 23,4°:
Najduži dan u Beogradu traje oko petnaest i po sati. Ovim je jedan od najstarijih problema u serijalu konačno rešen računski — onaj isti odnos najduže i najkraće obdanice koji je MUL.APIN, u drugom delu, netačno naveo kao 2 prema 1.
Ljudi i merenja
Al-Havarizmi (oko 780–850), po čijoj latinizovanoj imenu Algoritmi imamo reč algoritam, a po naslovu njegove knjige al-džabr reč algebra, sastavio je astronomske tablice koje spajaju indijske i grčke izvore.
Al-Mamunovo merenje Zemlje. Kalif je oko 830. godine naložio da se ponovi Eratostenovo merenje. Dve ekipe krenule su iz istog mesta u ravnici Sindžar, jedna ka severu, druga ka jugu, mereći pređeni put dok se visina nebeskog pola ne promeni za tačno jedan stepen. Dobijeno je oko 56⅔ arapske milje po stepenu. Prevod u savremene jedinice opet zavisi od toga koliko je iznosila milja, ali daje obim između 39 000 i 41 000 kilometara — dakle vrlo blisko tačnoj vrednosti. Značaj je i u metodu: merenje je namerno ponovljeno u dva smera, radi provere.
Al-Fargani (umro posle 861) napisao je pristupačan sažetak Almagesta koji je kasnije, u latinskom prevodu, bio glavni evropski udžbenik astronomije. Njegova vrednost za obim Zemlje je ona koju će Kolumbo koristiti — i pogrešno protumačiti, jer je Al-Fargani mislio na arapsku, a Kolumbo računao sa kraćom rimskom miljom.
Al-Batani (oko 858–929), iz Rake u današnjoj Siriji, posmatrao je četrdeset godina i njegovo Delo o zvezdama (az-Zīdž as-Sābi) najuticajniji je astronomski spis tog razdoblja. Njegovi rezultati:
- Dužina tropske godine: 365 dana, 5 sati, 46 minuta i 24 sekunde. Savremena vrednost je 365 dana, 5 sati, 48 minuta i 45 sekundi. Greška je oko dva minuta — desetostruko bolje od Ptolemeja.
- Nagib ekliptike: 23°35′. Tačna vrednost za to doba bila je 23°35′. Poklapanje je potpuno.
- Precesija: 1 stepen na 66 godina. Ptolemej je davao 100, tačno je 72. Al-Batani je promašio na drugu stranu, ali znatno manje.
- Utvrdio je da se apogej Sunca pomera — tačka najvećeg rastojanja koju smo uveli u osmom delu nije nepokretna, kako je Ptolemej mislio, nego polako klizi. To je novo otkriće, ne ispravka.
Abd al-Rahman al-Sufi (903–986) napisao je 964. godine Knjigu o nepokretnim zvezdama, u kojoj je Ptolemejev katalog proverio sopstvenim posmatranjem, ispravio magnitude i dodao arapska imena zvezda. Velik deo naziva koje danas koristimo — Altair, Deneb, Rigel, Betelgez, Vega, Aldebaran — dolazi odatle.
U toj knjizi nalazi se i najstariji poznati opis maglovite mrlje u sazvežđu Andromede. Al-Sufi je opisuje kao mali oblak. Reč je o galaksiji Andromedi, najudaljenijem predmetu koji se golim okom može videti; njena priroda biće utvrđena tek 1923. i to će biti tema u trećem delu ovog serijala. Al-Sufi pominje i „belog vola" na južnom nebu — po svemu sudeći Veliki Magelanov oblak, koji se sa širina severno od Bagdada ne vidi.
Al-Biruni (973–1048) izveo je merenje obima Zemlje sa jednog mesta, sa vrha brda poznate visine u Indiji, mereći za koliko je horizont spušten ispod vodoravne ravni. Metod je originalan i traži samo jedan pažljivo izmeren ugao. Dobio je vrednost blisku tačnoj, mada je metod osetljiv na prelamanje svetlosti u vazduhu, o čemu tada nije bilo dovoljno znanja.
Prigovor na ekvant
Sada dolazimo do onoga što je najvažnije za dalju priču.
Prisetimo se iz devetog dela: Ptolemej je uveo ekvant — tačku iz koje kretanje po deferentu izgleda jednoliko, iako po samom krugu nije. To je bilo kršenje pravila nasleđenog od Platona, uvedeno bez opravdanja, prosto zato što daje tačne brojeve.
Islamskim astronomima je to izuzetno smetalo, i vredi tačno razumeti zašto — jer razlog nije bio praznoverna privrženost krugovima.
Ibn al-Hajtam (965–1040), poznat u Evropi kao Alhazen i inače najveći istraživač optike pre sedamnaestog veka, napisao je oko 1028. spis Sumnje o Ptolemeju (aš-Šukūk 'alā Batlamjūs). Njegov prigovor glasi ovako.
Ako su nebeske sfere stvarne — a moraju biti, jer nešto mora nositi planete — onda se svaka od njih okreće oko svoje ose. Sfera koja se okreće oko ose okreće se jednoliko oko svog sopstvenog središta; to je sve što jedna sfera fizički može da radi. Ekvant traži sferu koja se okreće jednoliko oko tačke koja nije njeno središte. Takva sprava ne može da postoji.
To nije estetski nego mehanički prigovor. Ptolemejev model računa dobro, ali opisuje mašinu koju je nemoguće sagraditi. Ibn al-Hajtam ne kaže da su brojevi loši — kaže da model ne može biti istinit.
Tu je, prvi put od Eudoksa, neko postavio pitanje: je li ovo opis kako svet izgleda, ili tvrdnja kako svet jeste? I odbio da se zadovolji prvim.
Maraga: sprava koja pravi pravu liniju
Odgovor je stigao dva veka kasnije. Godine 1259, u gradu Maragi u današnjem Iranu, pod pokroviteljstvom mongolskog vladara Hulagua, osnovana je opservatorija sa velikom bibliotekom i ekipom astronoma iz celog islamskog sveta i iz Kine. Na čelu je bio Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274).
Tusi je zadatak postavio ovako: napraviti sistem koji daje iste brojeve kao Ptolemejev, ali sastavljen isključivo od sfera koje se okreću jednoliko oko sopstvenih središta.
Njegovo rešenje danas se zove Tusijev par (arapski: al-džuzʼ aš-šakl, „sprava dvaju krugova"). Postavka je iznenađujuće jednostavna.
Korak 1. Uzmimo veliki krug poluprečnika R i mali krug poluprečnika R/2, koji ga iznutra dodiruje.
Korak 2. Neka se mali krug kotrlja po unutrašnjoj strani velikog, bez klizanja.
Korak 3. Pratimo jednu tačku na obodu malog kruga. Šta ona opisuje?
Rezultat: pravu liniju. Tačka se kreće napred-nazad duž prečnika velikog kruga, kao klip.
Dokaz je čist geometrijski. Kad se mali krug zakotrlja za ugao θ po velikom, on se oko svog središta okrenuo za 2θ — jer je duplo manji, pa isti pređeni luk daje dvostruki ugao. Ta dva obrtanja se u jednom pravcu poništavaju, a u drugom sabiraju, i tačka ostaje na istoj pravoj.
Značaj je ogroman. Iz dva jednolika kružna kretanja dobija se pravolinijsko oscilovanje. A pravolinijsko oscilovanje je upravo ono što treba da se popravi kretanje po krugu tako da izgleda kao kretanje sa ekvantom — bez ijedne sfere koja se okreće oko tuđe tačke.
Tusijeva škola je time dobila zamenu za ekvant. Njegovi naslednici — Kutb al-Din al-Širazi i naročito Ibn al-Šatir (1304–1375), koji je radio kao merilac vremena u Umajadskoj džamiji u Damasku — razvili su potpune planetarne modele bez ekvanta, sastavljene isključivo od jednolikih obrtanja oko sopstvenih središta.
Ibn al-Šatir je pri tom rešio i onu Ptolemejevu mesečevu manu iz devetog dela: njegov model Meseca ne traži dvostruku promenu prividne veličine.
Sistem je i dalje bio geocentričan. Ibn al-Šatir nigde ne pomišlja da Zemlja može da se kreće; cilj mu je bio da očisti mehaniku, ne da pomeri središte.
O ovim rezultatima treba znati i sledeće. Kada su istoričari nauke — Otto Nojgebauer i Edvard Kenedi (Edward Kennedy), pedesetih i šezdesetih godina dvadesetog veka — uporedili Ibn al-Šatirove modele sa onima koje će Kopernik objaviti dva veka kasnije, ispostavilo se da su matematički identični, sa istim parametrima, do te mere da slučajno poklapanje deluje neverovatno. Kopernik Ibn al-Šatira nigde ne pominje i njegov spis nije bio preveden na latinski. Kako je znanje prešlo — preko vizantijskih rukopisa, preko usmenog prenošenja u Italiji, ili nikako — nije utvrđeno i ostaje otvoreno pitanje. Vratićemo se na njega u jedanaestom delu.
Samarkand: poslednje veliko merenje pre teleskopa
Ulug-beg (1394–1449) bio je unuk Timura Lenkovog i vladar Samarkanda — i, jedinstveno u istoriji, vladar koji je i sam bio ozbiljan astronom. Oko 1420. sagradio je opservatoriju sa instrumentom kakav dotad nije postojao.
Reč je o Fahrijevom sekstantu: luku od šezdeset stepeni, poluprečnika oko 40 metara, ukopanom u stenu i postavljenom tačno u ravni meridijana. Donji deo je bio u rovu, gornji nad zemljom.
Zašto tako veliki? Zato što se tačnost očitavanja ugla određuje time koliko je razmak između podeoka. Na luku poluprečnika 40 metara, jednom lučnom minutu odgovara razmak od skoro dvanaest milimetara — dovoljno da se očita golim okom. Na malom instrumentu, isti ugao je nevidljiva razdaljina. Pre teleskopa, jedini način da se poveća tačnost bio je da se poveća instrument.
Rezultati iz 1437. godine:
- Katalog od 1018 zvezda, prvi nezavisno izmeren posle Ptolemeja, a ne prepisan i preračunat. Tipične greške položaja su reda nekoliko lučnih minuta.
- Dužina zvezdane godine: 365 dana, 6 sati, 10 minuta i 8 sekundi. Savremena vrednost je 365 dana, 6 sati, 9 minuta i 10 sekundi. Greška: manje od jednog minuta.
- Nagib ekliptike: 23°30′17″. Tačna vrednost za 1437. bila je 23°30′48″. Greška: pola lučnog minuta.
Ovo su najbolja astronomska merenja pre teleskopa, sa jednim izuzetkom o kome će biti reči u dvanaestom delu.
Ulug-bega je 1449. dao ubiti sopstveni sin. Opservatorija je razorena, a njeni temelji pronađeni tek 1908. godine.
Sinus — polovina tetive dvostrukog ugla. Indijski izum koji zamenjuje Hiparhovu tetivu i čini račun mnogo jednostavnijim.
Sferna trigonometrija — računanje trouglova čije stranice su lukovi velikih krugova. Ključne su sinusna i kosinusna teorema za sferu.
Deklinacija — ugaona udaljenost nebeskog tela od nebeskog ekvatora.
Tusijev par — mali krug koji se kotrlja unutar dvostruko većeg; tačka na njegovom obodu opisuje pravu liniju. Iz kružnih kretanja dobija se pravolinijsko oscilovanje.
Šta je ovo promenilo
Alat. Sinus i sferna trigonometrija zamenili su Ptolemejev nezgrapan aparat tetiva i pomoćnih lukova. Bez tog alata nijedan kasniji račun — ni Kopernikov, ni Keplerov — ne bi bio izvodljiv u razumnom vremenu.
Podaci. Šest vekova posmatranja, od Al-Batanija do Ulug-bega, dalo je merenja tačnija od Ptolemejevih za red veličine. A ta merenja su pokazala nešto neprijatno: Ptolemejeve tablice sve više greše kako vreme prolazi. Sitne greške u dužini godine i u precesiji, koje su u drugom veku bile neprimetne, posle hiljadu godina narasle su u razlike od nekoliko stepeni.
Prigovor. Ibn al-Hajtam i Tusi pokazali su da Ptolemejev sistem nije samo netačan u pojedinostima nego unutrašnje nedosledan: opisuje mehanizam koji ne može postojati. To je prvi ozbiljan udarac ne u brojeve, nego u temelj.
Rešenje bez posledice. Tusijev par i Ibn al-Šatirovi modeli otklonili su nedoslednost — ali su ostavili Zemlju u središtu. Uklonili su nemoguću spravu, a zadržali sve ostalo. Broj krugova time nije smanjen nego povećan.
Tu je stvar stajala u petnaestom veku. Postojao je precizniji alat, bolji podaci, uredniji modeli — i sistem koji je i dalje bio zbir nezavisnih naprava, jedna za svaku planetu, bez ijedne veze između njih.
I dalje je u tom sistemu, na vidnom mestu, stajala ona neobičnost koju je Ptolemej zabeležio ne prokomentarisavši je: u modelu svake pojedine planete pojavljuje se period od tačno godinu dana. Kod spoljnih planeta u epiciklu, kod unutrašnjih u deferentu. Pet nezavisnih naprava, pet puta isti broj.
Čovek koji je na to konačno stavio prst bio je kanonik jedne katedrale na severu Poljske. Nije bio profesionalni astronom, posmatrao je malo i osrednje, a njegov sistem u početku nije bio ni tačniji ni jednostavniji od Ptolemejevog. Ali je jedini postavio pitanje: šta ako se ta godina pojavljuje svuda zato što pripada nama?
Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.
Comments
Post a Comment