Treći zakon — pravilo koje povezuje sve planete
Kepler je imao dva zakona i jednu nedovršenu misao.
Zakoni su govorili kako se jedna planeta kreće: po elipsi sa Suncem u žiži, i to tako da duž Sunce–planeta prebriše jednake površine u jednakim vremenima. Oba pravila važe za svaku planetu ponaosob, ali nijedno ne kaže ništa o tome kako se planete odnose jedna prema drugoj.
A da postoji neka veza, bilo je očigledno svakom ko pogleda brojeve. Merkur obiđe Sunce za 88 dana, Saturn za trideset godina. Što je planeta dalja, to sporije putuje. Pravilnost je nesporna — ali koliko sporije, tačno?
To pitanje je Kepler nosio od mladosti. Prvi odgovor koji je smislio, sa pravilnim poliedrima iz Mysterium cosmographicum, bio je pogrešan i to je znao. Drugi odgovor tražio je dvadeset tri godine.
Godine u kojima je to napisano
Vredi znati u kakvim okolnostima je knjiga nastala, jer se to obično prećuti.
Kepler je 1612. napustio Prag posle smrti cara Rudolfa II i preselio se u Linc, kao provincijski matematičar. Iste godine umrli su mu žena i sin.
Godine 1615. njegova majka Katarina Kepler optužena je za veštičarenje. Postupak je trajao šest godina; provela je četrnaest meseci u tamnici, okovana. Kepler je napustio posao, doselio se u Virtemberg i lično vodio odbranu, pišući pravne podneske u kojima je svaku navodnu čaroliju objašnjavao prirodnim uzrokom. Oslobođena je 1621. i umrla nekoliko meseci kasnije.
Godine 1618. počeo je Tridesetogodišnji rat. Linc je bio u oblasti koja je menjala gospodare; Kepler je kao protestant bio pod stalnim pritiskom, a njegova biblioteka je jednom bila zapečaćena.
Knjiga Harmonices mundi libri V — „Pet knjiga o harmoniji sveta" — dovršena je 27. maja 1618. i objavljena 1619. Napisana je, dakle, između majčinog suđenja i početka rata.
Knjiga o muzici
Sada dolazi ono što savremenog čitaoca zbunjuje. Harmonija sveta nije astronomska knjiga. To je knjiga o muzici, geometriji i skladu — a treći zakon se u njoj pojavljuje na jednoj stranici, usput.
Da bi se razumelo zašto, treba razumeti šta je Kepler tražio.
Pitagorejci su, kao što smo pomenuli u četvrtom delu, verovali da svet počiva na brojnim odnosima. Njihov glavni dokaz bila je muzika: zategnuta žica prepolovljena daje ton oktavu viši; odnos dužina 2:3 daje kvintu, 3:4 kvartu. Skladni zvuk odgovara jednostavnim odnosima celih brojeva. To je proverljiva činjenica koju svako može da ispita na žici, i za pitagorejce je bila dokaz da je svet uređen po broju.
Kepler je to shvatio doslovno i doživotno. Tražio je iste odnose u nebu.
U Harmoniji sveta on računa ugaone brzine planeta gledane sa Sunca, u perihelu i afelu, i njihove odnose upoređuje sa muzičkim intervalima. Za Saturn dobija odnos brzina blizak 4:5, dakle veliku tercu; za Jupiter blizu 5:6, malu tercu; za Mars oko 2:3, kvintu. Zatim slaže te tonove u „pesmu" svake planete i tvrdi da sve zajedno čine šestoglasnu harmoniju koju niko ne čuje.
Danas to čitamo kao zabludu, i jeste. Ali treba biti precizan u tome zašto je nastala. Kepler nije izmišljao brojeve — računao je iz svojih izmerenih putanja i tražio da li dobijeni odnosi liče na muzičke. Ponekad su ličili, jer se svaki broj može približiti nekom razlomku ako se dozvoli dovoljno kandidata.
To je greška koju smo već sreli u prvom delu, kod Hokinsa i Stonhendža: ko traži obrazac, naći će ga. Kepler je bio izvanredan računar i potpuno nekritičan prema sopstvenoj želji da svet bude skladan.
I onda je, u petoj knjizi, među tim razmatranjima, zapisao odnos koji nije bio muzički i koji je bio tačan.
Treći zakon
Kepler navodi da mu je zamisao sinula 8. marta 1618, ali da ju je zbog računske greške odbacio. Vratio joj se i potvrdio je 15. maja 1618. Datume je zapisao, što inače nije radio — znak da je i sam znao šta ima u rukama.
Pravilo glasi: kvadrat vremena obilaska srazmeran je kubu velike poluose putanje.
- T — vreme jednog obilaska oko Sunca (siderički period), u godinama
- a — velika poluosa eliptične putanje, u jedinicama rastojanja Zemlja–Sunce
Stalna vrednost je ista za sve planete. To je ono što zakon čini zakonom: on ne opisuje jednu planetu, nego povezuje sve.
U izabranim jedinicama — godina i rastojanje Zemlja–Sunce — ta stalna vrednost iznosi tačno 1, jer za Zemlju važi T = 1 i a = 1. Zato se zakon često piše u obliku:
Napomena: taj prosti oblik važi samo u tim jedinicama i samo za tela koja obilaze Sunce. U bilo kojim drugim jedinicama, ili za satelite koji obilaze planetu, stalna vrednost je drugačija. Zašto je to tako, i šta ta vrednost zapravo znači, biće jasno tek u šesnaestom delu.
Provera na brojevima
Uzmimo podatke koje je Kepler imao i proverimo. Rastojanja su izražena u jedinicama rastojanja Zemlja–Sunce, dobijena postupkom iz jedanaestog dela; periodi su iz sinodičkih perioda, takođe kako je tamo izvedeno.
Korak 1. Merkur: a = 0,387, T = 0,241 godina.
Korak 2. Mars: a = 1,524, T = 1,881 godina.
Korak 3. Saturn: a = 9,539, T = 29,46 godina.
Slaganje je potpuno, i to preko raspona rastojanja od dvadeset pet puta i raspona vremena od sto dvadeset puta. Nijedan podesivi parametar nije upotrebljen.
Korak 4. Zakon se može upotrebiti i unazad. Ako se izmeri period, dobija se rastojanje:
Ovo je moćno. Period se meri lako i vrlo tačno — dovoljno je zabeležiti kad se planeta vrati na isto mesto, a greška se deli brojem obilazaka. Rastojanje se meri teško. Zakon pretvara lako merenje u teško merenje.
Prvi: planeta se kreće po elipsi, Sunce je u jednoj žiži.
Drugi: duž Sunce–planeta prebriše jednake površine u jednakim vremenima.
Treći: T2/a3 je isto za sve planete.
Prva dva opisuju jednu planetu. Treći povezuje sve. To je razlika između opisa i sistema.
Šta je Kepler mislio da je našao
Kepler nije znao zašto zakon važi. Imao je slutnju i ona je bila delimično tačna.
Setimo se njegove zamisli iz prethodnog dela: iz Sunca se širi uticaj koji gura planete i slabi sa rastojanjem. Ako je tako, dalja planeta biva slabije gurana i zato ide sporije. Treći zakon bi bio brojčani izraz tog slabljenja.
Kepler je čak pokušao da izvede kojom brzinom uticaj slabi. Iz činjenice da se svetlost sa udaljenošću razređuje po površini lopte, pretpostavljao je slabljenje po drugom stepenu rastojanja — što je, kao što ćemo videti u šesnaestom delu, tačno za silu koja stvarno deluje.
Ali njegova mehanika je bila pogrešna, kao što smo objasnili: mislio je da sila gura u pravcu kretanja, a ona vuče ka Suncu. Zbog toga iz njegovih pretpostavki treći zakon ne izlazi. On ga je našao iz podataka, ne izveo iz teorije.
Napomena: izvođenje trećeg zakona iz zakona sile zahteva pojam ubrzanja pri kružnom kretanju i pojam mase, kojih u ovom trenutku priče nema. Uradićemo ga u šesnaestom delu, kad alat bude postojao.
Rudolfove tablice
Zakoni su lepi, ali astronom hoće da zna gde će Mars biti idućeg četvrtka. Za to su potrebne tablice.
Kepler je na njima radio od 1601, kad je nasledio Tihove podatke i obavezu. Objavio ih je tek 1627, u Ulmu, i platio štampu iz sopstvenog džepa jer je carska blagajna bila prazna. Nazvao ih je Tabulae Rudolphinae, po caru Rudolfu II, koji je dvadeset godina bio mrtav.
Tačnost je bila neuporediva sa svim ranijim. Alfonsinske i Pruske tablice grešile su za planete tipično nekoliko stepeni; Rudolfove su grešile reda lučnih minuta — poboljšanje od pedeset do sto puta.
Tablice su sadržale i dve stvari koje su bile nove u praksi:
Logaritmi. Džon Napijer (John Napier) objavio je logaritme 1614. Kepler ih je prihvatio odmah, izradio sopstvenu tablicu, i ugradio ih u račun. Bez njih bi računanje po trećem zakonu — korenovanje i stepenovanje — bilo mučenje.
Katalog od 1005 zvezda, zasnovan na Tihovim merenjima, sa tačnošću od nekoliko lučnih minuta.
Kepler je u tablicama uradio i nešto što se retko pominje: predvideo je dva prolaza planete preko Sunčevog koluta. Merkurov za 7. novembar 1631. i Venerin za 6. decembar 1631.
Umro je 15. novembra 1630. u Regensburgu, gde je otišao da naplati zaostale dugove, godinu dana pre nego što je prvo predviđanje trebalo da se ostvari. Grob je uništen u ratu.
Pjer Gasendi (Pierre Gassendi) posmatrao je 7. novembra 1631. u Parizu i video Merkura kao malu tamnu tačku na Suncu, u razmaku od nekoliko sati od predviđenog trenutka. Bila je to prva potvrda te vrste u istoriji.
Venerin prolaz iste godine nije se video iz Evrope. Kepler nije znao da se ti prolazi javljaju u parovima razmaknutim osam godina, pa je propustio onaj iz 1639 — koji je predvideo i posmatrao mladi engleski astronom Džeremaja Horoks (Jeremiah Horrocks). O značaju tih prolaza biće reči u dvadesetom delu.
Šta je ovo promenilo
Sunčev sistem je postao jedna stvar. Do trećeg zakona, šest planeta je bilo šest nezavisnih slučajeva. Svaka je imala svoju putanju, svoj period, svoje parametre, i ništa ih nije povezivalo osim toga što obilaze isto telo. Treći zakon kaže da ne mogu biti nezavisne: ako znaš period, rastojanje je određeno, i obrnuto. Postoji jedno pravilo koje važi za sve, uključujući i ona tela koja još nisu otkrivena.
Predviđanje je postalo pouzdano. Rudolfove tablice su, sa greškom od nekoliko lučnih minuta, prvi put omogućile da se nebeski položaj računa tačnije nego što se meri okom. Prolaz Merkura 1631. je to i dokazao.
Sistem je postao merljiv u srazmerama. Iz perioda se dobija rastojanje — dakle ceo raspored Sunčevog sistema može se nacrtati tačno, do jednog jedinog nepoznatog množioca: koliko je stvarno rastojanje Zemlja–Sunce. Sve ostalo je izraženo preko njega.
To je ista situacija kao kod Aristarha u šestom delu — sve u odnosima, ništa u dužinama — samo pomerena za dva reda veličine u tačnosti. Karta postoji, razmera nedostaje.
I ostalo je nerešeno pitanje uzroka. Keplerova tri zakona kažu šta planete rade. Nijedan ne kaže zašto. Zašto elipsa a ne neka druga kriva? Zašto Sunce u žiži a ne u središtu? Zašto baš drugi i treći stepen u trećem zakonu, a ne neki drugi brojevi? Kepler je verovao da odgovor postoji i tražio ga je celog života. Njegova nebeska metla nije bila taj odgovor.
U međuvremenu se, dok je Kepler u Pragu ratovao sa Marsom, u Italiji dogodilo nešto što sa računom nije imalo veze. Neko je uzeo dva komada stakla, stavio ih u cev, uperio je u nebo — i za nekoliko meseci video stvari koje su za dve hiljade godina posmatranja golim okom bile nedostupne.
Među njima i jednu pojavu koja je konačno, i to neposredno, oborila Ptolemejev sistem.
Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.
Comments
Post a Comment