Zašto planete ne padaju — put do obrnutog kvadrata
Posle Tiha nema kristalnih sfera. Posle Keplera nema epicikala. Ostala je planeta koja putuje kroz prazan prostor po elipsi, a niko ne zna zašto.
Pitanje je bilo postavljeno oštro: šta drži planetu na putanji? Ali da bi se na njega odgovorilo, trebalo je prvo ispraviti nešto mnogo osnovnije — pogrešno pitanje.
Dve hiljade godina, od Aristotela naovamo, pitanje je glasilo: šta održava kretanje? Podrazumevalo se da telo koje se kreće mora nešto da gura, jer inače staje. Kepler je zato zamislio nebesku metlu iz Sunca, kao što smo videli u trinaestom delu.
Ispostavilo se da je to pitanje bez sadržaja. Kretanju ne treba uzrok. Uzrok treba promeni kretanja. Kad se to okrene, ceo problem se preokreće: planeta ne treba nešto da je gura napred, nego nešto da je skreće sa prave linije.
Prva ispravka: telo koje se kreće ne staje samo od sebe
Galilej je u Discorsi iz 1638. opisao ogled koji je izveo mnogo puta: kugla se pušta niz nagnutu ravan, pa se penje uz drugu nagnutu ravan sa druge strane. Bez obzira na nagib druge ravni, kugla se popne skoro do iste visine sa koje je puštena — samo joj treba duži put ako je nagib manji.
Zatim je postavio pitanje koje se ne može eksperimentalno rešiti: šta ako druga ravan uopšte nije nagnuta? Kugla traži svoju visinu, ne nalazi je, i — po ovom rasuđivanju — ne staje nikad.
To je bilo suprotno svakodnevnom iskustvu, gde sve staje. Galilejev odgovor je da staje zbog trenja, koje je uzrok kao i svaki drugi, a ne zbog nekakve prirodne sklonosti ka mirovanju. Ukloni trenje, i kretanje traje.
Ovo se zove inercija (lat. inertia, tromost). Galilejeva verzija je bila nepotpuna: on je smatrao da se telo prepušteno sebi kreće po krugu oko Zemlje, jer bi inače otišlo u svemir. Ispravku je dao Rene Dekart (René Descartes) u Principima filozofije iz 1644: telo koje se kreće i na koje ništa ne deluje kreće se po pravoj liniji, stalnom brzinom.
Inercija: telo na koje ništa ne deluje ili miruje, ili se kreće pravolinijski i stalnom brzinom. Kretanje ne troši uzrok — promena kretanja ga troši.
Posledica za astronomiju: kružno ili eliptično kretanje nije prirodno stanje. Ono je stalno skretanje sa prave linije, dakle stalna promena — i traži stalan uzrok.
Odatle sledi i nešto što je usput rešilo najstariji prigovor protiv Kopernika. Setimo se iz jedanaestog dela: ako se Zemlja kreće, zašto bačen kamen pada tamo gde je bačen, zašto ne zaostaje? Odgovor je sada trivijalan: kamen je pre bacanja imao Zemljinu brzinu i, po inerciji, zadržava je. Ne mora ništa da ga vuče za Zemljom.
Druga ispravka: koliko se skreće
Ako je kružno kretanje stalno skretanje, mora se moći izmeriti koliko se skreće. Za to je potreban pojam koji do tada nije postojao u upotrebljivom obliku.
Brzina je promena položaja po jedinici vremena. Ubrzanje je promena brzine po jedinici vremena. Ključno je da se brzina menja i kad se telo kreće stalno brzo ali menja pravac — jer brzina ima i veličinu i pravac.
Kristijan Hajgens (Christiaan Huygens, 1629–1695) rešio je taj zadatak. Rezultat je imao 1659, objavio ga je 1673. u knjizi o klatnu Horologium oscillatorium.
Njegov rezultat: telo koje se kreće po krugu poluprečnika r brzinom v ima ubrzanje usmereno ka središtu kruga, veličine:
- a — ubrzanje ka središtu, u metrima po sekundi na kvadrat (m/s2)
- v — brzina po krugu, u metrima u sekundi (m/s)
- r — poluprečnik kruga, u metrima (m)
Napomena o jedinicama: metar i sekunda u ovom obliku ne postoje u sedamnaestom veku — metar je uveden tek 1799. Hajgens i Njutn su radili sa lokalnim merama dužine i sa vremenom u sekundama dobijenim iz klatna. Savremene jedinice koristim samo da bi brojevi bili proverljivi.
Zašto ka središtu? Evo obrazloženja u koracima.
Korak 1. Za kratko vreme Δt, telo bi po inerciji otišlo pravo, po tangenti. Ono se, međutim, nalazi na krugu.
Korak 2. Razlika između mesta na kome bi bilo i mesta na kome jeste je odstupanje usmereno ka središtu. Za mali ugao, geometrija kruga daje da to odstupanje raste kao kvadrat vremena — a to je upravo obeležje ravnomernog ubrzanja.
Korak 3. Izračunavanjem tog odstupanja dobija se koeficijent, i on iznosi v2/r.
Sada iz toga izvedimo oblik koji nam treba. Telo obiđe pun krug za vreme T, pređe put 2πr:
Treća ispravka: sila i masa
Ostaje da se poveže ubrzanje sa uzrokom koji ga proizvodi.
Sila je ono što menja kretanje. Masa je mera toga koliko se telo opire promeni kretanja. Iskustvo kaže da isto guranje različito ubrza teška i laka kolica, i to obrnuto srazmerno:
- F — sila, u njutnima (N); veličina koja ima pravac
- m — masa, u kilogramima (kg)
- a — ubrzanje, u m/s2; ima isti pravac kao sila
Napomena: ovaj odnos u punom obliku formuliše Njutn 1687, u knjizi o kojoj u sledećem delu; jedinica njutn dobija ime tek u dvadesetom veku. Ovde ga uvodim jer je potreban za izvođenje koje sledi, i jer su ga ljudi o kojima govorim već koristili u nepotpunom obliku.
Ko je sve nagađao
Sa ovim alatom, više ljudi je nezavisno došlo blizu odgovora. Vredi ih navesti, jer priča o usamljenom geniju nije tačna.
Đovani Alfonso Boreli (Giovanni Alfonso Borelli, 1608–1679), Galilejev učenik, objavio je 1666. spis o Jupiterovim satelitima u kome iznosi zamisao koja je suštinski ispravna: planeta ima težnju ka Suncu i istovremeno težnju da se od njega udalji zbog kruženja; putanja je ravnoteža to dvoje. To je prvi put da neko kaže da je kretanje planete rezultat privlačenja ka središtu, a ne guranja u pravcu kretanja.
Robert Huk (Robert Hooke, 1635–1703), kustos ogleda Kraljevskog društva i jedan od najsvestranijih ljudi svog doba, otišao je dalje. U predavanju iz 1670, objavljenom 1674, izneo je tri pretpostavke:
- Sva nebeska tela privlače ne samo svoje delove nego i druga tela u svom domašaju.
- Svako telo koje se kreće pravolinijski nastavlja tako dok ga neka sila ne skrene u krivu.
- Privlačenje je jače što su tela bliža.
Prve dve tačke su tačne i potpune. Treća je tačna ali neodređena — Huk ne kaže koliko jače.
U pismu Njutnu iz januara 1680. Huk je bio određeniji: pretpostavio je da privlačenje opada obrnuto sa kvadratom rastojanja i pitao ga kakva putanja iz toga sledi.
Huk, međutim, nije umeo da to dokaže. Nije bio dovoljno dobar matematičar da iz pretpostavke o sili izvede oblik putanje. To će kasnije biti srž spora.
Odakle obrnuti kvadrat
Pretpostavka o kvadratu nije bila puko nagađanje. Ona sledi iz Keplerovog trećeg zakona, i to u nekoliko redova. Izvođenje je bilo poznato više ljudi istovremeno; Hajgens ga je objavio 1673.
Uprostimo putanju u krug — što je za većinu planeta odlična aproksimacija, kao što smo videli u trinaestom delu.
Korak 1. Ubrzanje planete ka Suncu, iz Hajgensovog rezultata:
Korak 2. Treći Keplerov zakon iz četrnaestog dela, za kružnu putanju gde je poluosa jednaka poluprečniku:
Korak 3. Uvrstimo drugu jednakost u prvu:
Rezultat: ubrzanje planete ka Suncu opada obrnuto sa kvadratom rastojanja. Pošto je 4π2/k ista vrednost za sve planete, ubrzanje ne zavisi ni od čega osim od rastojanja.
Ovo je izuzetno važno i vredi zastati. Keplerov treći zakon je, prerušen, već sadržao zakon sile. Kepler ga je našao 1618. tražeći muzičke odnose, kao što smo videli. Da je imao pojam ubrzanja, izveo bi ovo sam. Nije ga imao — Hajgens ga daje četrdeset godina kasnije.
Opklada u kafani
U januaru 1684, u londonskoj kafani posle sastanka Kraljevskog društva, sreli su se tri čoveka: Robert Huk, arhitekta i astronom Kristofer Ren (Christopher Wren, koji je projektovao katedralu svetog Pavla) i mladi astronom Edmond Halej (Edmond Halley, 1656–1742).
Sva trojica su znala da sila mora opadati sa kvadratom rastojanja. Nijedan nije umeo da dokaže da iz takve sile sledi elipsa — a to je bilo srž stvari, jer Keplerov prvi zakon nije bio objašnjen ničim.
Ren je ponudio nagradu — knjigu u vrednosti od četrdeset šilinga — onome ko dokaz donese u roku od dva meseca. Huk je tvrdio da dokaz ima ali da ga zadržava kako bi drugi videli koliko je težak. Nikad ga nije pokazao.
U avgustu 1684. Halej je otputovao u Kembridž da pita čoveka za koga je čuo da se time bavio.
Poseta
Isak Njutn (Isaac Newton, 1642–1727) bio je tada profesor matematike u Kembridžu, poznat po radu o svetlosti i po žučnim sporovima, i uglavnom povučen.
Razgovor je zabeležio matematičar Abraham de Mavr, po Njutnovom kasnijem prepričavanju. Halej je pitao kakva bi bila putanja planete kad bi sila privlačenja opadala sa kvadratom rastojanja.
Njutn je odgovorio odmah: elipsa.
Halej je, zaprepašćen, pitao otkud zna. Njutn je rekao da je to izračunao. Halej je tražio račun. Njutn je pretražio papire i nije ga našao, pa je obećao da će ga ponovo izvesti i poslati.
Poslao je u novembru 1684, u obliku spisa od devet strana pod naslovom De motu corporum in gyrum — „O kretanju tela po krivim putanjama". U njemu su, izvedeni iz pretpostavke o sili, sva tri Keplerova zakona.
Halej je odmah shvatio šta ima u rukama i nagovorio Njutna da to razradi. Razrada je trajala osamnaest meseci i narasla u knjigu od tri toma.
Provera sa Mesecom
Pre nego što pređemo na knjigu, uradimo račun koji je Njutn po sopstvenom svedočenju izveo mnogo ranije, sredinom šezdesetih godina, i koji je odlučio celu stvar.
Pitanje glasi: je li sila koja drži Mesec ista ona koja čini da kamen pada?
Ako jeste, i ako opada sa kvadratom rastojanja, onda se ubrzanje Meseca može predvideti iz ubrzanja padanja na Zemljinoj površini.
Korak 1. Ubrzanje pri padu na površini Zemlje izmereno je i iznosi:
Korak 2. Mesec je udaljen 60,3 Zemljina poluprečnika — vrednost poznata od Hiparha, kao što smo videli u osmom delu, i do sedamnaestog veka precizirana. Ako sila opada sa kvadratom:
Korak 3. Sada isto ubrzanje izračunajmo nezavisno, iz Mesečevog kretanja. Rastojanje do Meseca je 3,844·108 m, a period obilaska u odnosu na zvezde 27,32 dana, dakle 2,360·106 s:
Korak 4. Uporedimo: 0,002698 prema 0,002725. Slaganje je unutar jednog procenta.
Dva potpuno nezavisna puta daju isti broj. Jedan polazi od kamena koji pada u vrtu, drugi od Meseca na nebu.
Sila koja obara jabuku i sila koja drži Mesec su ista sila.
O jabuci. Priča nije izmišljena, ali je uglačana. Njutn ju je pričao u starosti, a zabeležili su je Vilijam Stjukli 1726. i Voltar; u Stjuklijevoj verziji jabuka pada u vrtu u Vulstorpu i navodi Njutna na pitanje zašto pada uvek pravo nadole, dakle ka središtu Zemlje. Nigde se ne kaže da ga je jabuka pogodila u glavu — to je kasniji dodatak. Priča se odnosi na leto 1666, kad je Kembridž bio zatvoren zbog kuge.
Postoji i tehnički razlog da se ta datacija uzme sa rezervom. Vrednost Zemljinog poluprečnika koja je Njutnu bila dostupna 1666. bila je osetno pogrešna, pa se račun ne bi tako lepo poklopio. Dobru vrednost dao je tek Žan Pikar (Jean Picard) merenjem meridijanskog luka 1669–1670. Moguće je da je Njutn račun izveo ranije sa lošim slaganjem, ostavio ga, i vratio mu se posle Pikarovog merenja.
Šta je ovo promenilo
Pitanje je ispravljeno. Dve hiljade godina se tražilo šta održava kretanje planeta. Ispostavilo se da kretanju ne treba ništa; treba mu skretanje. Sve pogrešne teorije koje smo sreli — Aristotelov etar kome je kružno kretanje prirodno, Keplerova metla iz Sunca — pokušavale su da odgovore na pitanje koje nema smisla.
Podela na nebo i zemlju je ukinuta. Račun sa Mesecom pokazuje da ista veličina opisuje pad kamena i kretanje nebeskog tela. Aristotelova podela na podmesečevu i nadmesečevu oblast, koju su nagrizli Tiho merenjima komete i Galilej mesečevim planinama, sada je nestala potpuno — ne posmatranjem nego brojem koji se poklapa.
Keplerov treći zakon je dobio dublje značenje. On nije bio proizvoljna pravilnost nego prerušen zakon sile. Ovo je obrazac koji se u fizici stalno ponavlja: pravilnost izmerena u podacima ispostavi se kao posledica nečeg jednostavnijeg.
Ostalo je, međutim, ono najteže i to je razlog zbog kog Huk nije mogao dalje. Sve dosad izvedeno važi samo za kružnu putanju. Iz obrnutog kvadrata smo dobili kvadrat, ali nismo dokazali da iz obrnutog kvadrata sledi elipsa. Za to je potreban matematički aparat kakav u to vreme nije postojao — račun sa veličinama koje se neprekidno menjaju.
Njutn je taj aparat izmislio sam, dvadeset godina ranije, i nije ga objavio. Sada mu je zatrebao.
Rezultat je bio spis od tri toma, štampan o Halejevom trošku 1687, koji nije samo odgovorio na pitanje o elipsi — nego je iz istog zakona izveo oblik Zemlje, uzrok plime i oseke, i objašnjenje pojave koju je Hiparh primetio hiljadu osamsto godina ranije i nikad je nije razumeo.
Tekst je nastao u saradnji sa modelom Claude Opus 5 (Anthropic), po autorskom konceptu i uz uređivanje autora bloga.
Comments
Post a Comment